Доказательство. Будем полагать, что c+a−b не делится на 3

Будем полагать, что c+a−b не делится на 3. Этого всегда можно добиться выбором обозначений, поскольку в выражение переменные a и b входят симметрично. Введем вспомогательный параметр k = . Так как a, b и с – целые числа, то k – рациональное число. Пусть k= , где дробь будем предполагать несократимой. Так как ab+ , то b(a+b) = (c−a)(c+a). Заменим везде b на k(c+a): k(c+a)(a+kc+ka)=(c−a)(c+a).

Так как с+a≠0, то на с+a можно сократить: ka+ , откуда ( и = . Прибавим к обеим частям последнего равенства по единице: . Теперь умножим обе части последнего равенства на k: Но k(a+c)=b, поэтому Заменим везде k на . После упрощений получим

Докажем, что дробь несократима.

Предположим, что оба числа и m(m+2n) делятся на некоторое простое чисто p. Рассмотрим множители второго числа. Если m делится на p, то n на p не делится в силу взаимной простоты чисел n и m. Но тогда на p не делится, чего не может быть. Следовательно, на p делится чисто m+2n, а чисто m не делится. В этом случае на p будет делиться

4(n(m+2n)−( .

Так как не делится на p, то на p делится 3. Итак, число p может быть только тройкой: p=3.

В самом начале доказательства мы предположили, что с+a−b не делится на 3. Поскольку , то ; отсюда заключаем, что n−m не делится на 3. Но по нашему предположению делится на 3, поэтому на 3 делится число n+m, а значит, и число m(m+n) = mn+ = ( ) – mn. Поскольку по предположению число делится на 3, отсюда следует, что mn делится на 3, т.к n делится на 3. Из делимости на 3 разности следует, что и m должно делиться на 3, что невозможно. Итак, дробь несократима. В силу взаимной простоты чисел a и b отсюда заключаем, что a = b = и, следовательно, с = .