Целочисленные прямоугольные треугольники

Целочисленные треугольники

Выполнил:

студент 2 курса

А.А. Преснова

Научный руководитель:

доцент, к.ф.-м.н.

И.В. Игнатьева

Содержание

Введение. 3

§ 1 Целочисленные прямоугольные треугольники. 4

§ 2 Целочисленные треугольники с углом 120°. 5

§ 2 Целочисленные треугольники с углом 60°. 7

Источники: 8

Введение

В данной заметке целочисленными называются такие треугольники длины сторон которых выражаются натуральными числами.

Целочисленные прямоугольные треугольники

Хорошо изучены целочисленные прямоугольные треугольники. Длины их сторон a, b,с представляются так называемыми пифагоровыми тройками чисел (a, b, c):

a = k ( - ,

b = 2kmn,

c = k ( +

Здесь k, m, n ­–произвольные натуральные числа такие, что m > n..Выражения для a и b можно переставлять местами.

Нас будут интересовать целочисленные треугольники с длинных сторон a, b, c содержащие углы 60° или 120°. Условимся всегда считать сторону с противолежащей углу, кратному 60°.

§ 2 Целочисленные треугольники с углом 120°

Если треугольник имеет угол 120°, то его стороны a, b, c связаны равенством:

(1)

Это следует из теоремы косинусов, согласно которой для произвольного треугольника с длинами сторон a, b, с и углом α, Противолежащим стороне с, выполняется равенство

Наоборот, если стороны треугольника a, b, c связаны соотношением (1), то сторона c лежит против угла 120°. Действительно, в этом случае косинус угла α, противолежащего стороне с, согласно (1) и теореме косинусов равняется − , что возможно лишь в том случае, если α= 120°.

Равенство (1) позволяет «забыть» о геометрии: задачу поиска целочисленных треугольников с углом 120° мы свели к задаче решения уравнения (1) в натуральных числах уравнения (1) мы сейчас и сосредоточим свои усилия.

Прежде всего заметим, что если какая-то тройка натуральных чисел (a, b, c) удовлетворяет уравнению (1), причем у чисел a и b имеется общий делитель d, то на d будет делиться также и число с. Это наблюдение позволяет ограничиться поиском лишь таких решений (a, b.c), у которых числа a и b взаимно просты. Все другие решения будут отличаться от найденных натуральным множителем. В дальнейшем мы будем предполагать числа a и b взаимно простыми, не оговаривая это особо.

Сначала докажем вспомогательное утверждение.

Пусть натуральные числа a, b, c связаны соотношением (1), тогда с не делится на 3, а из двух чисел с + a - b и с + b - a одно делится на 3, а другое не делится.

Действительно, из равенства (1) следует, что . Если с делится на 3 то a−b делится на 3. Но квадраты чисел, делящихся на 3, делится на 9. Левая часть выписанного равенства делится на 9, значит, и 3ab тоже делится на 9. Тогда аb делится на 3, т.е. одно из чисел a или b делится на 3. Но тогда и другое из этих чисел делится на 3, поскольку a−b делится на 3. А это невозможно, поскольку числа a и b взаимно просты. Полученное противоречие говорит о том, что исходное допущение неверно. Итак, число с не делится на 3. Далее, из равенства (с + a – b)(c + b – a) = 3ab следует, что одно из чисел с + a − b или c + b − a делится на 3. Оба они не могут делиться на 3, поскольку в противном случае их сумма делилась бы на 3, что невозможно.