Кинематика материальной точки. Путь, скорость, ускорение. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение

В механике Ньютона считается, что свободное тело (на которое не дейст­вуют другие тела или действие их взаимно скомпенсировано) сохраняет сос­тояние своего движения, т. е. движется с неизменной скоростью (в частном случае покоится). Наличие же взаимодействия со стороны других тел проявляет себя, как установлено в динамике Галилея - Ньютона, в изменении скорости данного тела. Быстроту ее изменения характеризуют векторной величиной, называемой ускорением а, численно равным производной от мгновенной вектор - скорости u по времени:

а = lim Du/Dt при Dt ® 0; а = du/dt = u^¢ [а] = м/с².

Т. к. вектор-скорость u = u t обладает как бы двумя степенями свободы - модулем u и направлением (задаваемым вектором t), то и быстрота её изменения - вектор уско­рения а - может быть представлен в виде двух составляющих, называемых тангенциальным ( касательным) и нормальным (центростремительным) ускорениями:

а = d u /dt = d/dt(u t) = t (du/dt) + u×d t /dt = а _t + а _n, где а _t = t (du/dt) - тангенциальное ускорение, численно равное быстроте измене­ния модуля скорости и направленное по направлению t, то есть по касательной к траектории в сторону
перемещения тела при (du/dt) > 0 и против t при (du/dt) < 0;

а _n = u×d t /dt - нормальное ускорение, характеризующее быстроту изменения направления скорости.

Покажем, что нормальное ускорение направлено по нормали к траектории в сторону её вогнутости и численно равно u²/R, где R - радиус кривизны тра­ектории в соответствующей точке.

Модуль а полного ускорения в соответствии с теоремой Пифагора, равен: | а| = а = Ö(а_t² + а_n²) = Ö[(du/dt)² + u⁴/R²].

Знание ускорения, с которым движется тело, необходимо для решения ос­новной задачи механики, т. е. для определения скорости и местоположения тела в любой момент времени. Для этого необходимо иметь уравнения, связывающие скорость и ускорение, а также радиус - вектор с ускорением тела.