Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Задача № 27. Вычислить значение многочлена в точкеФормулировка. Дано натуральное число n, вещественное число x и набор вещественных чисел an, an-1,..., a0. Вычислить значение многочлена n -ной степени с коэффициентами an, an-1,..., a0 от одной переменной в точке x. Примечание: многочленом n -ной степени от одной переменной x называется выражение вида anxn + an-1xn-1 +... + a1x + a0, где an, an-1,..., a0 – коэффициенты. Решение. Собственно, в этой задаче требуется возведение переменной x (точнее, конкретного ее значения) в некоторую степень n – 1 раз, а также n операций умножения и n операций сложения. В принципе, для полноценного решения она не требует одновременного знания более чем одного коэффициента, так как мы можем в цикле ввести коэффициент an в переменную a, умножить его на xn и прибавить полученное число к переменной результата res (которой перед входом в цикл должно быть присвоено значение 0) и повторить этот шаг для всех коэффициентов. Тогда количество операций: (1 + 2 +... + n + 2 n), что примерно соответствует асимптотической сложности O(n2). Не занимаясь реализацией этого алгоритма, давайте оптимизируем его. Например, пусть нам дан многочлен третьей степени a3x3 + a2x2 + a1x + a0. Вынесем за скобки общий множитель x при слагаемых, в которых это возможно. Получим: (a3x2 + a2x + a1) x + a0. Вынесем за скобки x также и в полученном выражении со скобками, в итоге получим: ((a3x + a2) x + a1) x + a0. Полученную форму записи называют схемой Горнера. Очевидно, что она существует для многочлена любой степени. Итак, имея n = 3 и коэффициенты a3, a2, a1 и a0, мы можем посчитать его значение с помощью n операций умножения и n операций сложения, а это значит, что для вычисления требуется порядка 2n операций и алгоритм имеет линейную асимптотическую сложность O(n), что демонстрирует очевидное преимущество перед предыдущим решением. Посмотрим, как может выглядеть цикл, в котором вычисляется значение многочлена в точке. Для этого немного изменим представление в виде схемы Горнера, не меняя при этом значения многочлена: (((0 x + a3) x + a2) x + a1) x + a0. Теперь нам требуется n + 1 операций, однако заведя переменную res для накопления результата, которая перед входом в цикл будет равна 0, мы можем, вводя коэффициенты a3, a2, a1 и a0, посчитать значение многочлена в одном цикле: res:= 0; for i:= 1 to n + 1 do begin read(a); res:= res * x + a end; Примечание: оператор read нужен нам для того, чтобы можно было вводить коэффициенты через пробел, а не через Enter. Теперь разберем сам цикл. На первом шаге мы получаем в res значение выражения 0x + a3 = a3, на втором – a3x + a2, на третьем – (a3x + a2) x + a1, на четвертом – ((a3x + a2) x + a1) x + a0. Как видно, формула полностью восстановилась, причем вычисление идет от наиболее вложенных скобок к верхним уровням. Код:
|