Классические методы научного решения научно-технических задач

Аналитическое решение (АР). Применение АР предусматривает нахождение АР задачи на основании ее полной математической формулировки. Очень важно, что во многих областях инженерных знаний чаще всего можно подобрать уже готовое решение, а не искать новое. Для этого можно воспользоваться такими литературными источниками, как [6-10 и др.]. При этом как в указанных, так и во многих других подобных литературных источниках совершенно необязательно искать постановку точно такой задачи, какая должна решаться. Достаточно найти постановку и аналитическое решение подобной задачи независимо от области инженерных знаний.

Достоинствами АР являются:

· точность решения – точность расчетов зависит лишь от точности задания исходных данных и точности вычислений;

· удобство анализа – возможность представления в безразмерной форме и в виде расчетных графиков и номограмм;

· возможность вычисления искомого параметра для любой точки в выбранной системе координат и для любого момента времени без предварительных расчетов в предшествующих узлах координатной сетки и для предшествующего момента времени.

Недостатки АР:

· ограниченность круга задач, для которых могут быть получены АР;

· как правило, большое количество принципиальное важных допущений, снижающих точность полученных решений.

Метод конченых разностей (МКР). Суть метода: в дифференциальном уравнении, описывающем исследуемый физический процесс, бесконечно малые разности (дифференциалы) заменяют малыми, но конечными разностными величинами. Или, иными словами, истинное непрерывное в пространстве и во времени распределение независимых переменных заменяется приближенными прерывистыми значениями, усредняющими независимые переменные конечных малых участков пространства (Dx, Dy, Dz, Dr, Dj) и малых промежутков времени (Dt). Можно заметить, что МКР может быть графическим или численным. При этом надо всегда помнить, что МКР дает приближенное решение в виде дискретного набора значений функции при некоторых значениях аргумента. При практической реализации численных методов, в том числе с использованием современных средств вычислительной математики (неявной разностной схемы дробных шагов Н. Н. Яненко [11, 12], неявной разностной схемы переменных направлений [13] и др.), большую методическую помощь могут оказать примеры вывода прогоночных коэффициентов и построения алгоритмов численной аппроксимации дифференциальных уравнений, приведенные в [3-5].

Физическое моделирование (ФМ) предусматривает воспроизведение изучаемого явления, т. е. является экспериментальным методом решения сложных задач. В общем случае экспериментальные исследования подразделяются на следующие виды и подвиды:

1. Лабораторные экспериментальные исследования: стандартные исследования в соответствии с действующей нормативной базой (исследование физико-механических свойств строительных материалов перед их использованием, грунтов оснований зданий и сооружений и др.); моделирование исследования на макетах, действующих моделях и стендах для решения частных научных задач; исследования на специальных установках для решения общенаучных задач или задач в составе общенаучных проблем.

2. Натурные исследования: контрольные наблюдения за состоянием сооружений высокого класса капитальности; подтверждение точности решения задачи, полученного другими методами; специальные общенаучные исследования, например, с целью изменения действующих нормативных документов.

ФМ основано на общих законах подобия механических систем: две системы подобны между собой, если они подобны геометрически, а также если для всех сходственных точек обоих систем соблюдаются условия подобия их физических характеристик.

В соответствии с [14,15] известны следующие теоремы о подобии физических явлений:

1-я теорема: два явления подобны, если они описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений, причем индикаторы подобия равны единицы или соответствующие критерии подобия равны между собой.

2-я теорема: у подобных явлений существует определенная связь между критериями подобия.

3-я теорема (признаки подобия):

принадлежность явлений к одной и той же системе дифференциальных уравнений;

подобие условий однозначности;

равенство критериев, составленных из величин, входящих в условия однозначности.

Примеры практического применения указанных теорем приведены в [3-5].

Математическое моделирование (ММ). Как известно, физические и организационно-технологические процессы могут быть описаны в терминах операций (наблюдений, экспериментов), связывающих физические объекты. Сложность подлинных физических и организационно-технологических процессов часто требует упрощенных описаний с помощью физических и математических моделей. При этом, во-первых, математическая модель охватывает класс символических математических объектов, во-вторых, все упрощения, вводимые в физическую или математическую модель, обязательно требуют качественной или количественной оценки. В частности, должна быть подтверждена достоверность всех элементов математической модели до того, как эта модель будет реализована на алгоритмическом языке. В [5] подробно описан пример имитационного моделирования весьма сложных технологических процессов в строительстве с использованием приемов математического моделирования.

Аналоговое моделирование (АМ). Сущность метода в том, что решение поставленной задачи заменяют решением задачи другой физической сущности, в которой вид уравнения, описывающего исследуемый процесс и условия однозначности совпадают, хотя размерности физических величин различны. Заметим, что, во-первых, различие размерных физических величин при желании может быть исключено приведением всех данных к безразмерному виду, во-вторых, как правило, метод аналогового моделирования – экспериментальный. Известны методы электротепловых, гидротепловых и электрогидродинамических аналогий.