Категорическими суждениями

“Логический квадрат”.

Два простых категорических суждения будем считать сравнимыми, если они содержат одни и те же термины. Если у двух суждений хотя бы один термин не совпадает, они считаются несравнимыми. Между двумя сравнимыми суждениями возможны следующие отношения: (1) подчинение, (2) противоположность (контрарность), (3) субконтрарность, (4) противоречие.

Для систематизации этих отношений был придуман так называемый “ логический квадрат ”, который выглядит следующим образом:

Все S есть P А к о н т р а р н о с т ь Е Ни одно S не есть P

п п е п

О р и о

Д о ч д

Ч т е ч

И и р и

Н в о н

Е в о е

Н и р н

И т е и

Е о ч е

Р и

П е

Некоторые S есть P I с у б к о н т р а р н о с т ь O Некоторые S не есть P

Подчинение – это отношение, при котором истинность подчиняющего суждения гарантирует истинность подчинённого.

Отношение подчинения имеет место между общими суждениями и соответствующими им частными, то есть истинность общеутвердительного суждения (А) гарантирует истинность частноутвердительного (I), а истинность общеотрицательного суждения (Е) гарантирует истинность частноотрицательного (О).

Так, если суждение “Все планеты солнечной системы вращаются вокруг солнца.” — истинно, то суждение “Некоторые планеты солнечной системы вращаются вокруг солнца.” будет также истинным. Или если истинно суждение “Ни один курсант не является преступником.”, то суждение “Некоторые курсанты не являются преступниками.” — также истинно.

Противоположность (контрарность) – это отношение, при котором два суждения не могут быть оба истинными, но могут быть оба ложными.

Отношение противоположности (контрарности) имеет место между общеутвердительными суждениями (А) и общеотрицательными (Е).

Так, не могут быть оба истинными следующие суждения: “Все преступления являются тяжкими.” и ”Ни одно преступление не является тяжким.”, но они могут быть оба ложными (каковыми и являются).

Частичная совместимость (субконтрарность) – это отношение, при котором два суждения не могут быть оба ложными, но могут быть оба истинными.

Отношение субконтрарности имеет место между частноутвердительными суждениями (I) и частноотрицательными (О).

Так суждения “Некоторые правонарушения являются преступлениями.” и ”Некоторые преступления не являются правонарушениями.” не могут быть вместе ложными, но могут быть вместе истинными (каковыми и являются).

Противоречие – это отношение, при котором два суждения не могут быть оба ни истинными, ни ложными (то есть одно из них всегда истинно, другое всегда ложно).

Отношение противоречия имеет место между общеутвердительными суждения (А) и частноотрицательными (О), а также между общеотрицательными (Е) и частноутвердительными (I).

Так два суждения “Все преступления наказуемы.” и ”Некоторые преступления не наказуемы.” не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными. То же можно сказать и о суждениях “Ни один преподаватель не является сотрудником ОВД.” и ”Некоторые преподаватели являются сотрудниками ОВД.”.

(4) Распределённость терминов в категорических суждениях.

Термин в суждении считается распределённым, если он взят в полном объёме (то есть полностью включается в объём другого термина, либо полностью исключается из него), в противном случае термин считается нераспределённым.

Субъект всегда распределён только в общих суждениях, а предикат — только в отрицательных. Если распределённый термин обозначать знаком “+”, а нераспределённый — знаком “--”, то распределённость терминов в простых категорических суждениях можно выразить следующим образом:

Все S⁺ есть Р^--;

Ни одно S⁺ не есть Р⁺;

Некоторые S^-- есть Р^--;

Некоторые S^-- не есть Р⁺.

(5) Язык классической логики высказываний.

Напомним, что любой язык, как знаковая система, включает в себя синтаксис и семантику. Синтаксис включает в себя алфавит, то есть набор символов, и правила образования выражений из этих символов. Семантика представляет собой правила приписывания значений выражениям.

Алфавит:

1. Пропозициональные переменные: p, q, r, s, p₁, q₁,...;

2. Логические константы: Ø, &, Ú, É, º, º;

3. Служебные знаки: (,).

Определение формулы:

1. Пропозициональная переменная есть формула.

2. Если А — формула, то выражение ØА есть формула.

3. Если А — формула и В — формула, то выражение

(А & В) [чит.: “А и В”] есть формула;

(А Ú В) [чит.: “А или В”] есть формула;

(А º В) [чит.: “Либо А, либо В”] есть формула;

(А É В) [чит.: “Если А, то В”] есть формула;

(А º В) [чит.: “Если и только если А, то В”] есть формула.

Семантика:

Каждая формула выражает суждение: простое (пропозициональная переменная), сложное (формула, определяемая пунктом (3) определения формулы), суждение с внешним отрицанием (пункт (2) определения формулы). Каждая формула может принимать одно из значений: “истина” (И) или “ложь” (Л) в соответствии с тем, истинно или ложно суждение, которое она выражает.

Значение логических констант задаётся следующей таблицей:

А	В	ØА	(А & В)	(А Ú В)	(А º В)	(А → В)	(А º В)
И	И	Л	И	И	Л	И	И
И	Л	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	И	Л	Л	Л	И	И