Как провести шоссе?

ЗАДАЧА

Из приречного города А надо направлять грузы в пункт В, расположенный на а километров ниже по реке и в d километрах от берега (рис. 22). Как провести шоссе от В к реке, чтобы провоз грузов из А в В обходился возможно дешевле, если провозная плата с тонно-километра по реке вдвое меньше, чем по шоссе?

Рис. 22.

РЕШЕНИЕ

Обозначим расстояние AD через х и длину DB шоссе – через у: по предположению, длина АС равна а и длина ВС равна d.

Так как провоз по шоссе вдвое дороже, чем по реке, то сумма

х + 2 у

должна быть согласно требованию задачи наименьшая. Обозначим это наименьшее значение через т. Имеем уравнение

х + 2 у = m.

Но x = a – DC, а DC = ; наше уравнение получает вид

,

или по освобождении от радикала:

.

Решаем его:

.

Чтобы у было действительным, (т – a)² должно быть не меньше 3 d ². Наименьшее значение (m – а)² равно 3 d ², и тогда

, т.е.

.

Но угол, синус которого равен , равен 60°. Значит, шоссе надо провести под углом в 60° к реке, каково бы ни было расстояние АС.

Здесь наталкиваемся снова на ту же особенность, с которой мы встретились в предыдущей задаче. Решение имеет смысл только при определенном условии. Если пункт расположен так, что шоссе, проведенное под углом в 60° к реке, пройдет по ту сторону города А, то решение неприложимо; в таком случае надо непосредственно связать пункт В с городом А шоссе, вовсе не пользуясь рекой для перевозки.

<Paaaa