Дифференциальное уравнение реактивного движения

Реактивное движение основано на третьем законе Ньютона, в соответствии с которым "сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия". Горячие газы, вырываясь из сопла ракеты, образуют силу действия. Сила реакции, действующая в противоположном направлении, называется силой тяги. Эта сила как раз и обеспечивает ускорение ракеты.

Пусть начальная масса ракеты равна m, а ее начальная скорость составляет v. Через некоторое время dt масса ракеты уменьшится на величину dm в результате сгорания топлива. Это приведет к увеличению скорости ракеты на dv. Применим закон сохранения импульса к системе "ракета + поток газа". В начальный момент времени импульс системы равен mv. Через малое время dt импульс ракеты будет составлять

а импульс, связанный с выхлопными газами, в системе координат относительно Земли будет равен

где u − скорость истечения газов относительно Земли. Здесь мы учли, что скорость истечения газов направлена в сторону, противоположную скорости движения ракеты (рисунок 1). Поэтому, перед u поставлен знак "минус".

В соответствии с законом о сохранении полного импульса системы, можно записать:

Рис.1

Преобразуя данное уравнение, получаем:

В последнем уравнении можно пренебречь слагаемым dmdv, рассматривая малые изменения этих величин. В результате уравнение запишется в виде

Разделим обе части на dt, чтобы преобразовать уравнение в форму второго закона Ньютона:

Данное уравнение называется дифференциальным уравнением реактивного движения. Правая часть уравнения представляет собой силу тяги T:

Из полученной формулы видно, что силя тяги пропорциональна скорости истечения газов и скорости сгорания топлива. Конечно, это дифференциальное уравнение описывает идеальный случай. Оно не учитывает силу тяжести и аэродинамическую силу. Их учет приводит к значительному усложнению дифференциального уравнения.

Date: 2015-11-13; view: 773; Нарушение авторских прав