Основы теории

При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков можно использовать два подхода. Во-первых, дифференциальное уравнение может быть непосредственно преобразовано в конечно-разностную форму путем представления всех его производных соответствующими конечно-разностными выражениями. Например, уравнение падения тела

где Y - высота,t - время, G(Y) - ускорение падения, h,V_n - начальная высота и скорость, может быть численно решено с помощью конечно-разностного уравнения

,

в котором точки Y₀ и Y₁находятся из начальных условий:

Во-вторых, дифференциальное уравнение высшего порядка может быть представлено в форме системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые решаются последовательно рассмотренными ранее методами. Например, написанное выше уравнение падения тела может быть представлено системой

Решение данной системы методом Эйлера дает систему конечно-разностных уравнений

где . Аналогично может быть применен метод Рунге-Кутта.

Варианты заданий

Дана система дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих траекторию движения тела переменной массы в воздухе,

В приведенной системе уравнений X, Y - пространственные координаты;t- время; a - угол, образуемый касательной к траектории движения с осью X; m - масса тела, изменяющаяся по заданному закону;

R = (C_x rV² S_m) /2 - сила сопротивления воздуха движению тела (C_x - константа, r - плотность воздуха, изменяющаяся с высотой движения Y; S_m - площадь сечения тела);g - ускорение свободного падения;V - полная скорость движения; P - сила, создаваемая истекающим потоком массы, изменяется по заданному закону.

Каждому студенту предлагаются по заданию преподавателя определенные начальные условия и закономерности m(t), P(t), r(Y).

Необходимо численно решить данную задачу двумя способами;

1) непосредственно методом конечных разностей получить решение задачи, используя конечно-разностное представление второй производной;

2) привести дифференциальные уравнения второго порядка к системе дифференциальных уравнений первого порядка, численно решить эту систему с помощью стандартной подпрограммы RKGS.