Приклади розв’язання задач. Приклад 1. Тіло масою 1 кг під дією постійної сили рухається прямолінійно

Приклад 1. Тіло масою 1 кг під дією постійної сили рухається прямолінійно. Залежність шляху, який пройшло тіло, від часу задана рівнянням Визначити роботу сили за 10 с з початку її дії і залежність кінетичної енергії від часу.

Розв’язання. Робота, яку виконує сила, виражається наступним чином: (1). Сила, що діє на тіло, за другим законом Ньютона дорівнює (2). Миттєве значення прискорення знайдемо як другу похідну від шляху за часом: (3), (4). Тоді (5). З виразу (3) визначимо ds: (6). Підставивши (5) і (6) у рівняння (1), одержимо . По цій формулі визначимо роботу, яку виконує сила за 10 с з початку її дії: . Кінетичну енергію знайдемо за формулою: . (7) Підставляючи (3) у (7), маємо:

Приклад 2. На двох шнурах однакової довжини, яка дорівнює 0,8 м, підвішені дві свинцевих кулі масами 0,5 і 1 кг. Кулі стикаються між собою. Кулю меншої маси відвели убік так, що шнур відхилився на кут a = 60°, і відпустили. На яку висоту піднімуться обидві кулі після зіткнення? Удар вважати центральним і непружним. Визначити енергію, яка витрачається на деформацію куль при ударі.

Розв’язання. Так як удар куль непружний, то після удару кулі будуть рухатися з загальною швидкістю v. Закон збереження імпульсу при цьому ударі має вигляд:

(1)

Тут v₁ і v₂ – швидкості кульок до удару. Швидкість великої кулі до удару дорівнює нулю. Швидкість меншої кулі знайдемо використовуючи закон збереження енергії. При відхиленні меншої кулі на кут a вона здобуває потенціальну енергію, яка потім переходить у кінетичну:

.

Із рисунка видно, що

,

тому:

. (2)

З рівнянь (1) і (2) знаходимо швидкість куль після удару:

. (3)

Кінетична енергія, яку мають кулі після удару, переходить у потенціальну:

(4)

де h – висота, на яку піднімуться кулі після зіткнення.

З формули (4) знаходимо

.

Враховуючи (3), отримаємо:

, .

При иепружньому ударі куль частина енергії витрачається на їхню деформацію. Енергія деформації знаходиться як різниця кінетичних енергій до і після удару:

.

Використовуючи рівняння (2) і (3), одержуємо:

, .

Приклад 3. Молот масою 70 кг падає з висоти 5 м і вдаряє по залізному виробу, що лежить на ковадлі. Маса ковадлі разом з виробом 1330 кг. Вважаючи удар абсолютно непружним, визначити енергію, що витрачається на деформацію виробу. Систему вважати замкнутою.

Розв’язання. За умовою задачі система молот-виріб-ковадло вважається замкнутою, а удар непружний. За законом збереження енергії можна вважати, що енергія, яка витрачена на деформацію виробу, дорівнює різниці значень механічної енергії системи до і після удару. Вважаємо, що під час удару змінюється тільки кінетична енергія тіл, тобто незначним переміщенням тіл по вертикалі під час удару зневажаємо. Тоді для енергії деформації виробу маємо:

(1)

де v – швидкість молота наприкінці падіння з висоти h, v’ – швидкість тіл системи після непружнього удару.

Швидкість молота наприкінці падіння визначається без врахування опору повітря і тертя за формулою

. (2)

Загальну швидкість тіл системи після непружнього удару знайдемо за допомогою закону збереження імпульсу:

(3)

Для розглянутої системи закон збереження імпульсу має вигляд:

,

відкіля знаходимо:

(4)

Підставивши у формулу (1) вираження (2) і (4), одержимо:

.

Приклад 4. Снаряд, що летів на висоті Н=40 м горизонтально зі швидкістю 100 м/с, розривається на дві рівні частини. Одна частина опускається через 1 с і падає на землю точно під містом вибуху. Визначить швидкість другого снаряду відразу після вибуху.

Розв’язання. Систему, що складається з шматків після вибуху, можна вважати замкнутою. Застосуємо закон збереження імпульсу , , , де υ –швидкість снаряда до розриву, 2m – маса снаряду, , де u₁ – швидкість 1-го шматка снаряду, u₂ - швидкість 2-го. За умовою задачі снаряд розривається на шматки рівної маси.

Візьмемо проекції імпульсів на осі координат.

Ох:

Оу: . Розв’язуючи ці рівняння знайдемо: , . Рух правої частини снаряду після вибуху є падіння з початковою швидкістю . Тому можна записати: . Звідси . α= 10⁰.