Уравнение статики атмосферы

Пусть атмосфера находится в состоянии покоя по отношению к земной поверхности. Такое состояние атмосферы называется ста­тическим. Тогда горизонтальная составляющая градиента давле­ния G₂ должна обращаться в нуль (в противном случае под влияни­ем этой силы воздух придет в движение). Для этого необходимо и достаточно, чтобы изобарические поверхности совпадали с уровенными.

Выделим в атмосфере две изобарические поверхности, располо­женные на высотах z и z + dz (рис. 3.1). Давление на этих поверхно­стях обозначим через р и р + dp.

Между изобарическими поверхностями р и р + dp выделим объем воздуха с горизонтальными основаниями 1 м². На ниж­нее основание выделенного объема воздуха действует сила давления р, направлен­ная снизу вверх; на верхнее основание — сила давления

Рис. 3.1. К выводу основного урав­нения статики атмосферы.

р + dp, направленная сверху вниз.* Силы давления, действующие на боковые грани объема воздуха, взаимно уравновешиваются.

Кроме сил давления, на объем воздуха действует сила тяжести Р, равная по модулю

и направленная сверху вниз (по вертикали).

Спроектируем все силы, действующие на выделенный объем воз­духа, на положительное направление вертикали г, вдоль которой действует (в отрицательном направлении) сила тяжести. Сумма этих проекций равна

Поскольку выделенный объем воздуха находится в покое, вектор­ная сумма всех действующих на объем сил, т. е. их результирую­щая, и сумма проекций этих сил на любое направление должны тождественно обращаться в нуль:

Подставив вместо Р его выражение по соотношению (3.2.1), по­лучим уравнение статики атмосферы **:

Разделив левую и правую части (3.2.4) на dz, определим второй вид основного уравнения статики атмосферы:

Величина -dp/dz = G₁ представляет собой вертикальную состав­ляющую градиента давления. В случае статического равновесия G₂ = 0, поэтому G₁ равно полному градиенту давления: G₁= G. Пра­вая часть (3.2.5) представляет собой силу тяжести, действующую на единичный объем воздуха, масса которого равна ρ. Таким образом, уравнение статики физически выражает собой равновесие двух сил — градиента давления и силы тяжести.

Из уравнения статики атмосферы можно сделать три важных вывода.

* Сила давления — вектор, направление которого совпадает с нормалью к повер­хности (внутрь объема). Давление воздуха — скаляр, равный отношению модуля силы давления к элементарной площади, на которую эта сила действует.

** Это уравнение справедливо и для гидросферы.

1. Если высота возрастает (dz > 0), то в правой части (3.2.4) стоит произведение только положительных множителей: gpdz > О. Поэто­му и левая часть (3.2.4) также больше нуля:

Таким образом, увеличению высоты (dz > 0) всегда соответствует отрицательное приращение давления (dp < 0). Это означает, что в атмосфере давление всегда убывает с увеличением высоты. Вывод о том, что этот закон справедлив всегда, вытекает из того, что уравне­ние статики выполняется с высокой степенью точности и в случае движения атмосферы.

2. Выделим в атмосфере вертикальный столб воздуха с попереч­ным сечением 1 м² и высотой от данного уровня z до верхней грани­цы атмосферы z_a. Вес этого столба обозначим через Q. Поскольку

вес элементарного столба высотой dz равен gpdz (pdz — масса эле­ментарного столба), то вес всего столба

Проинтегрировав правую и левую части (3.2.4) в пределах от z, где давление р, до z_a, где давление равно нулю (по определению вер­хней границы), получим:

Таким образом, приходим ко второму определению понятия дав­ления. Атмосферное давление, или давление воздуха, на каждом уровне равно весу столба воздуха единичного поперечного сечения и высотой от данного уровня до верхней границы атмосферы.

Полученное следствие делает физически ясным и вывод об убы­вании давления с высотой: увеличение высоты приводит к уменьше­нию вертикальной протяженности вышележащей части столба воз­духа и, следовательно, к уменьшению давления (по сравнению с ни­жележащими уровнями). В закрытых (негерметизированных) поме­щениях давление на каком-либо уровне практически не отличается, согласно закону Паскаля, от давления вне помещения на том же уровне.

3. Уравнение статики позволяет сделать выводы и относительно скорости убывания давления с высотой. Согласно (3.2.4), при подъеме на одну и ту же высоту (dz = const) уменьшение давления (-dp) тем больше, чем больше плотность воздуха р и ускорение свободного падения g. Основную роль играет плотность воздуха. С увеличением высоты плотность воздуха, как правило, убывает. Это означает, что чем выше расположен уровень, тем меньше убывание давления при подъеме на одну и ту же высоту dz.

Если точки Аи В расположены на одной и той же изобарической поверхности, то плотность воздуха в точках А и В будет зависеть только от температуры воздуха в этих точках. Если Т_А > T_В, то (при р — const) в соответствии с уравнением состояния р_А < р_В. Это, в свою очередь, означает, что при подъеме на одну и ту же высоту (dz = const) понижение давления в точке А с более высокой темпера­турой меньше, чем в точке В с более низкой температурой.

Таким образом, приходим к следующему выводу: при увеличе­нии высоты на одно и то же значение относительно некоторой изоба­рической поверхности понижение давления в более холодной воз­душной массе больше, чем в теплой массе, т. е. в холодной воздуш­ной массе давление убывает с высотой быстрее, чем в более теплой. Подтверждением этого вывода является тот факт, что на высотах (в средней и верхней тропосфере) в холодных воздушных массах пре­обладает низкое, а в теплых — высокое давление.

Оценим значение вертикального градиента давления G₁. При нор­мальных условиях вблизи уровня моря р = 1,29 кг/м³, g = 9,81 м/с². Подставив эти значения в (3.2.5), найдем:

Таким образом, вблизи уровня моря при подъеме на 100 м давле­ние убывает примерно на 12,5 гПа. Это значение изменяется в зави­симости от температуры и давления. При увеличении высоты значе­ние G ₁ уменьшается.