Тема 1.1. Множества и операции над ними

Основные понятия и термины по теме:

Множество, элемент множества, подмножество,характеристическое свойство, равные множества, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств.

План изучения темы:

1. Понятие множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами

2. Операции над множествами

3. Свойства пересечения и объединения множеств.

4. Декартово произведение множеств.

Краткое изложение теоретических вопросов:

1. Понятие множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами

Под множеством понимается совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству. Примеры: Множество студентов какой-либо учебной группы. Множество букв русского алфавита. Множество натуральных чисел. Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Например: B, C,…,X,Y,…,A1,B1,…

Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ.

Элементы множества обозначаются строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b,c,…,x,y,…,a1,b1,…

Æ - пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента.

Пример: bÎB – элемент b принадлежит множеству, cÏX – элемент с не принадлежит множеству X.

Способы задания смотрите на рис.1

Отношения между множествами изображены на рис.2

Пересечение	Объединение	Вычитание
Пересечением множеств А и В называется новое множество, состоящие из элементов и множества А и множества В А={Р,И,С}, B={Р,О,С,А} АÇВ={Р,С}	Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов или множества А или множества В А={Р,И,С}, B={Р,О,С,А} АÈВ={Р,С,И,О,А}	Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В А={Р,И,С}, B={Р,О,С,А} А\В={И} B\A={O,A}
А={С,Т,О,Л,Б}, B={С,Т,О,Л} АÇВ={С,Т,О,Л}	А={С,Т,О,Л,Б}, B={С,Т,О,Л} АÈВ={С,Т,О,Л,Б}	А={С,Т,О,Л,Б}, B={С,Т,О,Л} А\В={Б} = ВА¢ - дополнение множества В до множества А
А={Н,О,С},В={С,О,Н} АÇВ=А=В={С,О,Н}	А={Н,О,С},В={С,О,Н} АÈВ=А=В={С,О,Н}	А={Н,О,С},В={С,О,Н} А\В = Æ
А={С,О,Н}, B={М,И,Р} АÇВ= Æ	А={С,О,Н}, B={М,И,Р} АÈВ={С,О,Н,М,И,Р}	А={С,О,Н}, B={М,И,Р} А\В=A= {С,О,Н} B\A={М,И,Р}

2. Операции над множествами

3. Свойства пересечения и объединения множеств

Пересечение и объединение множеств обла­дают переместительным, или, как говорят в математике, ком­мутативным свойством: для любых множеств А и В выпол­няются равенства: А Ç В = В Ç А и А È В = В È А. Пересечение и объединение множеств обладают также со­четательным, или ассоциативным, свойством: для любых множеств А, В и С выполняются равенства: (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С) и (А È B) È C = А È (В È С).

Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отража­ется в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих операций. Таких свойств два:

1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство

(А È В)Ç С = (А Ç C) È (В Ç С).

2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство

(А Ç В)È С = (А È С) Ç (В È С).

4. Декартово произведение множеств.

Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать че­тыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следова­ния элементов, в математике говорят об упорядоченных на­борах элементов.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а и b, принято записывать, используя круглые скобки: (а; b). Эле­мент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b - второй координатой (компонентой) пары.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента ко­торых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Используя это обозначение, определение декартова произведе­ния можно записать так:

А ´ В = {(х; у) | х Î А и у Î В }.

Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым умножением. Так как декартовы произведения А ´ В и В ´ А состоят из различных элементов, то декартово умножение множеств А и В свойством коммутативности не обладает. Для декартова умножения не выполняется и свойство ассоциативности. Но декартово про­изведение дистрибутивно относительно объединения и вычи­тания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполня­ются равенства:

(А È В)´ С = (А ´ С)È (В ´ С),

(А \ В)´ С = (А ´ В) \ (В ´ С)