Плоскость

Плоскость задается линейным уравнением вида

Вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормалью , а его координатами являются коэффициенты при в уравнении плоскости: .

Пример. 1) Плоскость задана уравнением , значит, нормаль .

2) Плоскость задана уравнением , значит, нормаль . Этот вектор перпендикулярен оси , значит, сама плоскость параллельна оси . Аналогично, если в уравнении плоскости нет переменной , эта плоскость параллельна оси . Если нет переменной , плоскость параллельна оси

Пример. Нарисовать плоскости, заданные следующими уравнениями.

1)

Находим точки пересечения плоскости с осями координат.

Если , то .

Если , то .

Если , то .

На осях координат отмечаем полученные точки и соединяем отрезками прямых.

2) Эта плоскость параллельна оси OZ.

В плоскости XOY по двум точкам строим прямую .

При , при .

Затем построенную прямую «смещаем» параллельно оси

Чтобы составить уравнение плоскости, надо знать координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости, и координаты вектора нормали , затем воспользоваться уравнением (*)

Пример. Составить уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости .

Запишем координаты нормали заданной плоскости: . Так как плоскости параллельны, их нормали тоже параллельны, значит, в качестве нормали искомой плоскости, можно взять . Используя (*), составим уравнение плоскости :

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

.

Если заданные точки не лежат на одной прямой, то такая плоскость единственная. Рассмотрим векторы и . Если векторы параллельны, то точки лежат на одной прямой и единственную плоскость они не определяют. Проверим пропорциональность координат: векторы не параллельны, точки не лежат на одной прямой.

Векторное произведение векторов и есть вектор, перпендикулярный обоим этим векторам, значит, искомая нормаль .

Найден вектор нормали или можно взять

Из заданных точек выбираем любую, например, и используем уравнение (*):

- искомое уравнение. Полученная плоскость параллельна оси .