Декартова система координат

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.

Вектор назовем радиус-вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс;

2-я ось – ось ординат;

3-я ось – ось аппликат.

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А (x ₁, y ₁, z ₁), B (x ₂, y ₂, z ₂), то = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁).

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Пример 4.4. Даны векторы (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему линейно независимы. Тогда вектор . Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Действительно, определитель системы не равен нулю .

Тогда составим систему . Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

D₁ =

;

D₂ =

D₃ =

Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

Определение. Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А (x ₁, y ₁, z ₁), B (x ₂, y ₂, z ₂), то .

Определение. Если точка М (х, у, z) делит отрезок АВ в отношении l, считая от точки А, то координаты этой точки определяются

Замечание. В частном случае координаты середины отрезка находятся

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид