Метод итераций

Уравнение f (x)=0 представляем в виде x = j (x). Выбираем на отрезке [ a,b ] произвольную точку x ₀ в качестве начального приближения и строим последовательность: x ₁= j (x ₀), x ₂= j (x ₁) ,..., x_n = j (x_{n -1}). Процесс последовательного вычисления чисел x_n (n =1,2,3,...) называется методом итераций.

Если на отрезке [ a,b ] выполнено условие |j' (x) |≤q< 1, то процесс итераций сходится, т.е. увеличивая n, можно получить приближение, сколь угодно мало отличающееся от истинного значения корня уравнения.

Процесс итераций продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие |x_n-x_{n -1} |£ e, где e — заданная точность вычислений. Если q≤0.5, то для прекращения процесса итераций можно пользоваться более простым соотношением |x_n-x_{n -1} |£e.

Геометрическая интерпретация метода итераций:

Пример: Методом итераций найти корень уравнения f(x)= arcsin(2 x+ 1) -x ² =0 расположенный на отрезке [-0.5,0] c точностью ε =10^-4.

Уравнение преобразуем к виду y=j(x) следующим образом:

arcsin(2 x +1) =x ², sin(arcsin(2 x +1)) = sin(x ²), 2 x +1 = sin(x ²), x =0.5(sin(x ²)-1).

Значит j (x)= 0.5(sin(x ²)-1), j^’ (x)= x cos(x²), | j^’ (x) |=|x cos(x ²)|≤0.5 для x Î[ -0.5,0 ]. Метод итераций сходится.

Замечание: на каждом этапе необходимо помнить лишь два соседних приближения, поэтому приближение x_n обозначим через x, а приближение x_{n +1}через y.

Program Iter; {метод итераций}

Uses Crt;

Const eps=0.0001;

Var

fx,x,y,delta:Real;

n:Integer;

Function Fi(z:Real):Real;

Begin

Fi:=0.5*(sin(z*z)-1)

End;

Function F(z:Real):Real;

Begin

F:=2*z+1-sin(z*z);

End;

Begin

Clrscr;

Write ('Введите начальное приближение x=');

ReadLn (x);

n:=0;

Repeat

y:=Fi(x);

delta:=abs(y-x);

n:=n+1;

x:=y;

Until delta<eps;

WriteLn('Корень уравнения x=',x:8:4);

WriteLn('Проверка f(',x:8:4,')=',f(x):8:5);

WriteLn('Количество итераций n=',n);

Repeat Until KeyPressed;

End.