Трансцендентных уравнений

На практике часто приходится решать уравнения вида f (х)=0, где f (x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале (a;b). Если функция f (x)представляет собой многочлен, то уравнение называется алгебраическим, если же в функцию f (x)входят элементарные (тригонометрические, логарифмические, показательные и др.) функции, то такие уравнения называются трансцендентными.

Всякое значение x^*, обращающее функцию в 0, т.е. такое, что f (x^*)=0, называется корнем уравнения.

Найти корни уравнения точно удается лишь в частных случаях. Кроме того, часто уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Поэтому разработаны методы численного решения уравнений f (x)=0, которые позволяют отыскать приближенные значения корней этого уравнения. При этом приходится решать 2 задачи:

§ Отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых находится только один корень уравнения.

§ Вычисление корней с заданной точностью.

При выделении областей, содержащих действительные корни уравнения f (x), можно воспользоваться тем, что если на концах некоторого отрезка непрерывная функция f (x) принимает значения разных знаков, то на этом отрезке уравнение f (x)=0 имеет хотя бы один корень. Отделение корней можно выполнять графически и аналитически.

Аналитический способ отделения корней:

1) находим производную f' (x);

2) составляем таблицу знаков функции f (x), полагая x равным: критическим точкам функции или близким к ним; граничным значениям, исходя из области допустимых значений неизвестного;

3) определяем интервалы, на концах которых функция принимает значения противоположных знаков; внутри этих интервалов содержится по одному корню.

Графически корни можно отделять двумя способами:

1) строится график функции y = f (x), абсциссы точек пересечения которого с осью Ox являются приближенными корнями уравнения f (x)=0;

2) уравнение y = f (x) записывается в эквивалентном виде j (x)= y (x), так, чтобы графики функций j (x), y (x) строились проще; абсциссы точек пересечения этих графиков тоже являются приближенными корнями уравнения f (x)=0.