Коэффициент корреляции и корреляционное отношение

При изучении корреляционных связей возникает три основных вопроса: наличие связи, форма связи и сила связи. Для получения ответа на эти вопросы необходимо сначала вычислить коэффициент корреляции и корреляционное отношение.

Для вычисления коэффициента корреляции предварительно составляются корреляционные таблицы 27 и 28 результатов наблюдений. Таблицы имеет следующую структуру: по горизонтали вверху выписываются наблюденные значения случайной величины х, по вертикали слева — значения у.

В каждом столбце корреляционной таблицы против значений х и у указываются их частоты.

По характеру таблицы можно ориентировочно судить о наличии или отсутствии корреляционной связи между у и х. Например, в табл. 27 она обнаруживается, а в табл. 28 ее нет, так как у изменяется одинаково при всех значениях х.

Имея корреляционную таблицу, подобную табл. 27, и обозначив через n_ху частоту некоторой пары значений х и у, вычисляют величину С_ху:

которая равна частному от деления на общее число наблюдений суммы произведений отклонений значений х и у от их средних и на соответствующие частоты. Эта величина С_ху носит название ковариации х и у. Частное от деления величины С_ху на произведение средних квадратических отклонений величин х и y, которые обозначим через s_х и s_y, называется коэффициентом корреляции х и у и обозначается через r_ху:

Для упрощения и облегчения вычислений ковариации С_ху, а также s_х и s_y можно пользоваться следующими формулами:

где n_х и m_у — частоты соответственных значений х и у.

Корреляционное отношение h_у вычисляется по формуле

где s_y – среднее квадратическое отклонение значений y_i от средней ;

- среднее квадратическое отклонение значений частной средней от общей средней , т. е.

Основные свойства коэффициента корреляции и корреляционного отношени я.

1. Если коэффициент корреляции r_ху равен плюс или минус единице, т. е.

то x и у связаны точной прямолинейной связью вида

или

2. Если r_ху = 0, между х и у не может существовать прямолинейной корреляционной связи, но криволинейная возможна.

3. Чем ближе r_ху к ±1, тем точнее и теснее прямолинейная корреляционная связь между х и у. Она ослабевает с приближением r_ху к нулю.

4. Если корреляционное отношение h_у = 0, то между у и х нет корреляционной связи.

5. Если h_у = 1, то у связано с х однозначной связью, т. е. всякому значению х соответствует одно определенное значение у.

6. Чем ближе h_у к единице, тем теснее связь у с х, чем ближе h_у к нулю, тем эта связь слабее.

7. Если h_у = , то регрессия y на х точно линейна и обратно: если егресссия у на х точно линейна, то h_у = .