Показатели вариации

Вариация — это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному соче­таются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно акту­ально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию для принятия научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщающую характеристику при­знака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина при­знака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом — эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом — велика, это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.

Чем больше варианты отдельных единиц совокупности раз­личаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, — чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в та­ком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

Поэтому возникает необходимость измерять вариацию при­знака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей.

X К показателям вариации относятся: размах вариации, сред­нее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое откло­нение, коэффициент вариации.

X Самым элементарным показателем вариации признака яв­ляется размах вариации R, представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

R= х_max - х_min

Однако размах вариации показывает лишь крайние отклоне­ния признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только опреде­лением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и даёт обобщённую характеристику. Простейший показатель такого типа — среднее линейное отклонение.

X Среднее линейное отклонение представляет собой сред­нюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдель­ных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: .

Среднее линейное отклонение:

• для несгруппированных данных ,

где п - число членов ряда;

• для сгруппированных данных ,

где åf — сумма частот вариационного ряда.

X Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляет­ся по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимо­сти от исходных данных):

• простая дисперсия для несгруппированных данных

;

• взвешенная дисперсия для вариационного ряда

,

Формула применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

Формулу для расчета дисперсии можно преобразовать,

учитывая, что :

,

т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата их средней.

Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала, получим следующую формулу вы­числения дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:

,

где s - дисперсия, исчисленная по способу моментов;

i - величина интервала;

- новые (преобразованные) значения вариантов

(А — условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой);

- момент второго порядка;

- квадрат момента первого порядка.

Дисперсия имеет большое значение в экономическом анали­зе. В математической статистике важную роль для характеристи­ки качества статистических оценок играет их дисперсия. Ниже, в частности, будет показано разложение дисперсии на соответст­вующие элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака; использование дисперсии для построения показателей тесноты корреляционной связи при оценке результатов выборочных наблюдений.

X Среднее квадратическое отклонение s равно корню квад­ратному из дисперсии:

· для несгруппированных данных ,

• для вариационного ряда ,

Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные ва­рианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

,

Коэффициент вариации используют не только для сравнитель­ной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количест­венно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Пример. Рассмотрим расчет различными способами показателей вариации на примере данных таблицы:

Рассчитаем дисперсию по трем, приведенным выше формулам.

1.

2.

3.

Исчислим средний объем товарооборота, млн. руб.:

Х_АР = 21 600 / 100 = 216

Далее строим вспомогательную таблицу и делаем расчеты

Взяв расчетные данные из таблицы, подставляем их в наши формулы (1,2,3)

1. = 30 400 / 100 = 304

2. = 4 696 000/100 – (216)² = 304

3. = 20² х (80/100 – (-20/100)²) = 304

где А = 50 центральный вариант с наибольшей частотой

i = 20 - величина интервала данного ряда

Определим коэффициент вариации, %

= 17,44 / 216 х 100 = 8

Таким образом предприятия достаточно однородны по товарообороту, поскольку вариация признака составляет лишь 8%.

Теперь выполним расчет дисперсии по разным формулам: