Умозаключения из простых высказываний

Все умозаключения из простых высказываний снова подразделяются на два вида. К первому виду относят умозаключения из одной посылки. Такие умозаключения называются непосредственными. Ко второму виду относят умозаключения из двух и более посылок. Эти умозаключения называют опосредованными.

Непосредственные умозаключения также имеют две разновидности: умозаключения на основании логического квадрата и умозаключения посредством преобразования структуры суждения.

Умозаключения на основании логического квадрата осуществляются следующим образом. Пусть нам дано в качестве посылки какое-нибудь общеутвердительное суждение, например Все юристы имеют высшее образование. Тогда на основании отношений логического квадрата мы можем утверждать, что, во-первых, Неверно, что ни один юрист не имеет высшего образования, во-вторых, Неверно, что некоторые юристы не имеют высшего образования, и, наконец, в-третьих, Некоторые юристы имеют высшее образование. Иначе говоря, если нам известно, что общеутвердительное суждение является истинным, то мы можем утверждать, что тогда общеотрицательное суждение (с тем же субъектом и предикатом) является ложным (в силу отношения контрарности между A и E два этих суждения не могут быть вместе истинными), частноотрицательное суждение является ложным (в силу отношения контрадикторности между A и O второе суждение должно быть ложным если истинно первое) и частноутвердительное суждение должно быть истинным (в силу отношения подчинения между A и I, если первое истинно, то второе не может быть ложным). То есть, из одной общеутвердительной посылки на основании отношений логического квадрата можно сделать три различных заключения. Логические схемы этих умозаключений будут выглядеть следующим образом (в схемах умозаключений посылки от заключения отделяются горизонтальной чертой): A A A

ùE ùO I

В случае, если посылка является общеотрицательным суждением, мы также можем сделать три различных заключения. Например, пусть нам известно, что Ни один белый медведь не питается медом. Тогда мы можем утверждать, что Неверно, что все белые медведи питаются медом, Неверно, что некоторые белые медведи питаются медом, и напротив, верно, что Некоторые белые медведи не питаются медом. То есть, если истинно суждение типа E, то ложно суждение типа A, ложно суждение типа I и истинно суждение типа O. Схемы умозаключений в данном случае выглядят так: E E E

ùA ùI O

Для частных суждений ситуация будет другой. Если нам известно, что истинно некоторое частноутвердительное суждение, например, Некоторые государства имеют федеративное устройство, то на основании этого мы можем сделать только один определенный вывод: Неверно, что ни одно государство не имеет федеративного устройства. То есть, если истинно частноутвердительное суждение, то в силу отношения контрадикторности должно быть ложно общеотрицательное суждение. Относительно же общеутвердительного суждения и частноотрицательного суждения в данном случае никаких определенных выводов сделать нельзя (они могут оказаться, как истинными, так и ложными). А это означает, что мы не можем гарантировать истинность заключения, хотя наша посылка и является истинной. Точно также и в том случае, когда в качестве посылки выступает частноотрицательное суждение (например, Некоторые студенты не занимаются систематически), мы можем сделать только один правильный вывод - соответствующее общеутвердительное суждение должно быть ложным (Неверно, что все студенты занимаются систематически). Что касается общеотрицательного суждения (Ни один студент не занимается систематически) и частнутвердительного суждения (Некоторые студенты занимаются систематически), то их истинность или ложность на основании данной нам посылки установить невозможно. Поэтому делать заключения о них в данном случае будет неверно. Итак, логические схемы для непосредственных умозаключений из частных суждений таковы: I O

ùE ùA

Итак, из различных атрибутивных суждений в сумме можно сделать восемь разных выводов (3+3+1+1).

Теперь рассмотрим противоположную ситуацию, когда в качестве посылок выступают отрицания атрибутивных суждений. В этом случае число различных правильных умозаключений не изменится, их по-прежнему останется восемь. Но распределены они будут несколько по-другому. Из отрицания общеутвердительного суждения, так же, как и из отрицания общеотрицательного суждения можно сделать только один правильный вывод. А из отрицания частноутвердительного суждения, равно как и из отрицания частноотрицательного суждения, можно сделать три различных правильных вывода.

Пусть в качестве посылки нам дано суждение Неверно, что все юристы выступают с речами в суде. Если отрицание общеутвердительного суждения истинно, то это означает, что само общеутвердительное суждение ложно, и, в силу отношения контрадикторности, истинным будет частноотрицательное суждение Некоторые юристы не выступают с речами в суде. Это - единственный правильный вывод, который можно получить из данной посылки. Аналогично, если нам дано в качестве посылки отрицание общеотрицательного суждения, например, Неверно, что ни один из преступников не уходит от наказания, то единственным правильным заключением из такой посылки будет соответствующее частноутвердительное суждение - Некоторые преступники уходят от наказания. Логические схемы этих умозаключений таковы: ùA ùE

O I

Для отрицания частных суждений мы имеем более широкий набор возможных умозаключений. Если мы знаем, например, что Неверно, что некоторые высшие учебные заведения работают круглосуточно, то на основании этого мы можем сделать вывод, что Ни одно высшее учебное заведение не работает круглосуточно, или сделать вывод, что Некоторые высшие учебные заведения не работают круглосуточно, или же сделать вывод, что Неверно, что все высшие учебные заведения работают круглосуточно. Подобно этому из отрицания частноотрицательного суждения (например, Неверно, что некоторые музеи не работают по субботам и воскресеньям) следуют частноутвердительное суждение (Некоторые музеи работают по субботам и воскресеньям), общеутвердительное суждение (Все музеи работают по субботам и воскресеньям) и отрицание общеотрицательного суждения (Неверно, что ни один музей не работает по субботам и воскресеньям). Соответствующие логические схемы умозаключений будут выглядеть так:

ùI ùI ùI ùO ùO ùO

E O ùA A I ùE

Далее мы опишем четыре основных вида непосредственных умозаключений посредством преобразования структуры суждения: превращение, обращение, противопоставление предикату и противопоставление субъекту.

При превращении качество исходного суждения меняется на противоположное, и предикат заменяется противоречащим ему термином. Неформально это означает следующее. Когда мы превращаем утвердительное суждение, то мы в исходное суждение дважды вставляем частицу не, один раз - перед глаголом-связкой, второй раз - перед предикатом. Если же мы превращаем отрицательное суждение, то мы просто удаляем частицу не, находящуюся перед глаголом-связкой, и вставляем ее перед предикатом суждения. Это операция довольно часто выглядит громоздкой и искусственной, но в некоторых случаях она приводит к более удобным формам выражения той же самой мысли. Для нас важна ее принципиальная осуществимость для всех видов атрибутивных суждений, а так же то, что в результате превращения мы получаем суждения, логически эквивалентные исходным, то есть эта операция обратима. Взяв в качестве посылок суждения, являющиеся заключениями соответствующих превращений, мы можем, применив к ним те же самые приемы, фактически получить исходные суждения. Дело в том, что двойное отрицание (дважды подряд употребленное не) равносильно простому утверждению (т.е. высказыванию, где ни одного не не встречается). То есть, при повторном осуществлении превращения мы можем просто убирать повторения частицы не там, где они встречаются, что и приведет нас к структуре исходного суждения.

Логические схемы превращений, где посылками являются атрибутивные суждения различных видов, таковы:

(A) Все S суть P

(E) Ни один S не есть не-P

(E) Ни один S не есть P

(A) Все S суть не-P

(I) Некоторые S суть P

(O) Некоторые S не суть не-P

(O) Некоторые S не суть P

(I) Некоторые S суть не-P

В качестве примеров приведем следующие превращения:

Все люди (S) смертны (P).

Ни один человек (S) не является бессмертным (не-P).

Ни один металл (S) не растворяется в воде (P).

Все металлы (S) являются нерастворимыми в воде веществами (не-P).

Некоторые стрелки (S) попадают в мишень (P).

Некоторые стрелки (S) не промахиваются мимо мишени (не-P).

Некоторые специалисты (S) не имеют достаточной квалификации (P).

Некоторые специалисты (S) имеют недостаточную квалификацию (не-P).

Основная трудность, возникающая при осуществлении превращения, заключается в правильном определении предиката и дальнейшем преобразовании его в термин, противоречащий этому предикату. Далеко не всегда выражение, которое будет безупречным с точки зрения правил логики, окажется естественным и более или менее широко употребляемым в языке. В таком случае, если перед вами стоит именно логическая задача, следует ориентироваться прежде всего на логические правила, а уже во вторую очередь - на благозвучие получаемого предложения. Например, правильным превращением суждения Некоторые собаки не лают на прохожих будет суждение Некоторые собаки являются теми существами (зверьми, животными и т.п.), которые не лают на прохожих. Но неправильными будут превращения Некоторые собаки лают не на прохожих или же Некоторые собаки лают на прохожих. В первом из неправильных случаев неверно образован термин, противоречащий предикату: отрицание должно относиться к самому действию (лают), а не к его объекту (прохожие); во втором неправильном случае отрицание просто утеряно.

На первый взгляд, обращение является более простым умозаключением, чем превращение. При обращении атрибутивного суждения его субъект и предикат просто меняются местами, а качество суждения при этом остается прежним. Однако, в отличие от превращения, у обращения есть свои ограничения и исключения. Во-первых, при обращении общеутвердительных суждений меняется количество суждения: заключение должно быть частноутвердительным. Если Все адвокаты - юристы, то отсюда нельзя сделать вывод, что Все юристы - адвокаты. Правильным выводом в данном случае будет суждение Некоторые юристы - адвокаты. Во-вторых, существенным отличием обращений является невозможность правильно обратить частноотрицательные суждения. Пусть, например, таким суждением будет Некоторые преступники (S) не являются рецидивистами (P). Меняя местами субъект и предикат, получаем суждение Некоторые рецидивисты (P) не являются преступниками. (S) Полученное суждение, очевидно, является ложным, в то время как исходное суждение было истинным. Следовательно, в общем случае мы не имеем права обращать частноотрицательные суждения, поскольку истинность заключения при истинной посылке здесь не гарантируется.

Таким образом, логические схемы обращений для разных видов атрибутивных суждений таковы:

(A) Все S суть P

(I) Некоторые P суть S

(E) Ни один S не есть P

(E) Ни один P не есть S

(I) Некоторые S суть P

(I) Некоторые P суть S

(O) Некоторые S не суть P

———

Примерами таких обращений могут служить следующие умозаключения:

Все люди (S) смертны (P).

Некоторые смертные существа (P) - люди (S).

Ни один металл (S) не растворяется в воде (P).

Ни одно растворимое в воде вещество (P) не металл (S).

Некоторые преподаватели (S) являются крупными учеными (P).

Некоторые крупные ученые (P) являются преподавателями (S).

Некоторые юристы (S) не являются прокурорами (P).

———

Так же, как и для превращений, основная трудность, которая встречается при построении обращений, заключается в правильном определении терминов в посылке. Например, правильным обращением суждения Некоторые мужья (S) подчиняются женам (P) будет не суждение Некоторые жены подчиняют мужей и не Некоторые мужья подчиняют жен, а Некоторые подчиненные жен (P) - мужья (S).

Противопоставление предикату можно рассматривать как последовательное осуществление двух умозаключений - превращения и обращения. Поэтому его определение обычно выглядит следующим образом: противопоставление предикату - это непосредственное умозаключение, в результате которого качество суждения изменяется на противоположное, предикат заменяется противоречащим ему понятием и меняется местами с субъектом. В силу того, что обращение можно рассматривать как составную часть противопоставления предикату, оно будет обладать следующими особенностями: во-первых, противопоставление предикату общеотрицательного суждения приводит к частноутвердительному заключению (то есть, в этом случае меняется еще и квантор исходного суждения), во-вторых, для частноутвердительных суждений правильного противопоставления предикату не существует. Ниже представлены логические схемы противопоставления предикату.

(A) Все S суть P

(E) Ни один не-P не суть S

(E) Ни один S не есть P

(I) Некоторые не-P суть S

(I) Некоторые S суть P

———

(O) Некоторые S не суть P

(I) Некоторые не-P суть S

В качестве примеров противопоставления предикату можно привести следующие умозаключения:

Все законопослушные люди (S) платят налоги (P).

Ни один неплательщик налогов (не-P) не является законопослушным (S).

Ни один прямоугольный треугольник (S) не является равносторонним (P).

Некоторые неравносторонние треугольники (не-P) - прямоугольные (S).

Некоторые преступники (S) являются несовершеннолетними (P).

———

Некоторые политики (S) не оправдывают доверия (P).

Некоторые не оправдывающие доверия люди (не-P) - политики (S).

При противопоставлении субъекту качество суждения изменяется на противоположное, субъект заменяется на противоречащее ему понятие и меняется местами с предикатом. Таким образом, противопоставление субъекту тоже можно рассматривать как последовательное выполнение двух непосредственных умозаключений - обращения и превращения. Следовательно, поскольку обращение здесь является первой из необходимых операций, можно сразу утверждать, что противопоставление субъекту не осуществимо для частноотрицательных суждений (так как для них невозможно обращение). Кроме этого, при выполнении противопоставления субъекту общеутвердительного суждения произойдет еще и смена квантора - заключение станет частноотрицательным суждением. В итоге мы получаем следующие логические схемы:

(A) Все S суть P

(O) Некоторые P не суть не-S

(E) Ни один S не есть P

(A) Все P суть не-S

(I) Некоторые S суть P

(O) Некоторые P не суть не-S

(O) Некоторые S не суть P

———

Примерами противопоставлений субъекту будут являться следующие выводы:

Все дееспособные люди (S) - совершеннолетние (P).

Некоторые совершеннолетние (P) не являются недееспособными (не-S).

Ни одно справедливое наказание (S) не является чрезмерным (P).

Всякое чрезмерное наказание (P) является несправедливым (не-S).

Некоторые сложные задачи (S) имеют простое решение (P).

Некоторые просто решаемые задачи (P) не являются несложными (не-S).

Некоторые люди (S) не имеют высшего образования (P).

———