Пример. Представить в тригонометрической форме комплексное число

Представить в тригонометрической форме комплексное число .

Решение.

Найдем модуль комплексного числа:

.

Так как точка лежит в третьей четверти (рис.25), то

.

Получаем

.

Если , то имеем . Комплексное число обозначается символом , т.е.

,

.

Сложением и вычитанием данных равенств получаются формулы Эйлера:

,

,

с помощью которых тригонометрические функции выражаются через показательную функцию.

Любое комплексное число можно представить в показательной форме:

.

Формулы Муавра

При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются, т.е.

Отсюда следует формула Муавра для возведения комплексного числа в натуральную степень n:

или

.