Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Положение точки на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами , но и полярными координатами (рис.24), где – расстояние от точки 0 до точки z, а – угол между действительной осью и вектором z, отсчитываемый в положительном направлении от действительной оси. При этом, если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Этот угол называется аргументом комплексного числа z и обозначается так: . Для числа аргумент не определяется.

Из рисунка 24 видно, что

.

Следовательно, любое комплексное число можно представить в тригонометрической форме:

.

Следовательно, если , то

, .

Данная система имеет бесконечно много решений, и все эти решения задаются формулой , где – одно из решений системы. Значение , удовлетворяющее условию , называется главным значением аргумента.

Аргумент z можно найти, используя формулу

.