Модель. Величины

x – численность популяции в момент времени t

R – скорость размножения

γ – коэффициент размножения

R= γ x скорость роста популяции

S – естественная убыль (гибель)

δ – коэффициент смертности

S=-δx

dx/dt=R+S= γx- δx=εx, где ε= γ- δ

ln(x/x0)=εt

Закон изменения популяции:

А) ε<0(при δ> γ), то есть скорость гибели больше скорости размножения. Численность особей со временем упадет до нуля

Б) ε>0(при δ< γ), то есть скорость размножения больше скорости гибели. Численность особей неограниченно растет со временем.

В) ε=0(при δ= γ), то есть скорость гибели равна скорости размножения. Численность особи не изменяется, оставаясь на начальном уровне.

1. Модель изменения численности популяции с учетом конкуренции между особями

Модель Ферхюльста

В модели Ферхюльста снято ограничение отсутствия борьбы.

Рассматривается борьба особей за место обитания, добавляется дополнительный источник гибели. Считается, что скорость гибели за счет конкуренции между особями пропорциональна вероятности встреч двух особей.

R=γx

S=-δx-∆x²

∆x² насильственная смерть

x(t)=x0ε/(ε-∆x) +∆x0

Математическая модель «хищник-жертва» (модель Вольтерра)

Имеется некоторая популяция 2-х видов – зайцы (жертвы) и рыси (хищника), в которой происходят жизненные процессы во всем их многообразии. Зайцы питаются растительной пищей, имеющейся в достаточном количестве (между зайцами отсутствует внутривидовая борьба). Рыси могут питаться только зайцами.

Использованные допущения:

1. Два взаимодействующих вида: «хищник» и «жертва» обитают в некотором пространстве.

2. В популяции «жертвы» нет борьбы за пространство и пищевые ресурсы; существуют процессы размножения, естественной гибели и гибели в результате встречи с «хищником».

3. Вид «хищник» может питаться только видом «жертвой».