Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теорема единственностиПредварительно докажем две теоремы о площади известных фигур, (не то, что установили, а произвольные) Th1 Если S: М®R+ - отображение, удовлетворяющее аксиомам измерения площадей и Р – это прямоугольник со сторонами х и у, то S (Р)=ху. Доказательство: Пусть S- отображение удовлетворяющее S1-S3. Если Р1=Р2, то S(Р1)=S(Р2), а два прямоугольника равны, если у них равны соответствующие стороны х и у, значит S функция от двух переменных со значениями в R+. Обозначим ее ¦(х, у)=S(Р). Функция ¦(х, у) обладает следующими свойствами:
¦(х, у)=¦(у,х) это следует из §1, т.к. тогда два прямоугольника равны ¦(х1+х2,у)=¦(х1,у)+¦(х2,у) ¦(х,у)=¦(1,у)*х.
у у
х1 х2 Докажем 3). Зафиксируем y0, тогда f(x,y0)=g(x) из (2) следует, что "x1,x2 >0. g(x1+x2)=g(x1)+g(x2),значит g– это линейная функция на R+, а значит, имеет вид g(х)=кх, т.е. f(х, у)=к (у) х. И, т.к. Þ при х=1 f(1,у)=к (у), то Þ(3) доказано. f (1,у)=f (у, 1)=f (1,1) у, но f (1,1)=1Þf(1,у)=у (3)Þf (х,у)=ху. Th2 Е сли S:М®R+-отображение удовлетворяющее аксиомам измерения площадей, а Т-треугольник у которого х- одна из его сторон, а у- соответствующая высота, то S(Т)= ху. Доказательство самостоятельно (идея:) Th (единственность площади) Если выбран едининичный отрезок, то существует не более одного отображения S: М®R+, удовлетворяющего аксиомам измерения площадей. Доказательство. Пусть S/:М®R+ удовлетворяет S1-S3. Пусть F-произвольный многоугольник. Разобьем его на конечное число треугольников F=D1+…+Dn.Тогда по S2: S(R)= ; S/(F)= , то S(Di)=S/(Di)ÞS(F)=S/(F), значит отображения S и S/ совпадают ч.т.д. Следствие1. При любом способе разложения многоугольника F на конечное множество треугольников сумма площадей этих треугольников одна и та же. Доказательство очевидно из аксиомы S 2 и Т h единственности. Следствие 2. Если вершины многоугольника А1А2…Аn в прямоугольной системе координат имеют координаты Аi(xi,yi), i=1,2,…,n, то
|