Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Площадь многоугольника. Теорема существования
Пусть М- множество всех многоугольников на евклидовой плоскости. Опр. 1. Говорят, что установлено измерение площадей многоугольников, если определено отображение S: М®R+, такое, что S1 если F@F/, то S (F)=S (F/). S2 если F=F1+F2, то S (F)=S (F1)+S (F2) – аддитивность. S3 S(Р0)=1, где Р0-квадрат, построенный на единичном отрезке как на стороне. Положительное число S(F) называется мерой или площадью многоугольника А, а квадрат Р0- единичным квадратом. ЗАМЕЧАНИЕ Раз речь идет об евклидовой плоскости, с введенной на ней системой координат, то ясно, что единичный отрезок уже выбран. Теорема существования. На евклидовой плоскости существует хотя бы одно отображение S: M® R+, удовлетворяющее аксиомам измерениям площадей. Доказательство. Зададим это отображение явно: S (F) = (1), ясно, что это отображение М® R+ по Ch3. Осталось проверить выполнение аксиом S1-S3. S1) Пусть F=F/. $ движение, переводящее F в F/. По теореме о реперах это движение g может быть задано парой соответствующих ортонормированных реперов R и R/, g(R)=R/,g(R)=R/, если MR(x,y), то g(M)R/(x,y). Если Ai(xi,yi), I =1,…,n вершины многогранника F в R, то в репере R/ точки А/i = g(Ai) будут иметь те же координаты (xi,yi), тогда из формулы (1), §4 Þ½[ ]½=½[ ]½ÞS (F)=S(F/). S2) Пусть теперь F=F1+F2. По Ch4, F ориентируем так, чтобы >0. На F1 и F2 введем ориентацию согласованye с , это можно сделать, т.к. простой многоугольник гомеоморфен сфере с дыркой, а она ориентируема. Получаем (почему это можно сделать?) Докажем, что (2). Пусть М0…МК – ломанная, которая разбивает многоугольник F на F1 и F2. -радиус векторы ее вершин. Вершины многоугольника обозначим так, чтобы А1-М0-Аn и АS –МК-АS+1, радиус - векторы точек Аi. Тогда
, (если Rk совпадает с и совпадает с , то сразу). Значит , оба отрицательными быть не могут, т.к. >0. Пусть >0, если <0, то из (1) получаем < , что противоречит Ch 2.Þ ÞS(F)=S(F1)+S(F2). S3) Пусть Р0 квадрат. Рассмотрим единичный квадрат ОА1А2А3 в системе координат О(0,0), А1(1,0), А2(1,1), А3(0,1). =2ÞS(P0)=1 Теорема доказана.
|