Частина 2. (Робота з наближеними числами)

(Робота з наближеними числами)

В частині 1 ми розглянули похибки, які виникають при вимірюваннях. Але ж наближені числа, які ми отримуємо внаслідок вимірювань потрібні для якихось подальших розрахунків. Отже виникає проблема як потрібно проводити ці розрахунки. Зрозуміло, якщо ми користуємось наближеними числами при розрахунках, то і результати цих розрахунків теж наближені. Ясно, що точними числам можуть бути:

1.Значення перевідних множників від одних одиниць до інших: 1 м =1000 мм; 1 год =3600 с тощо.

Однак, якщо значення перевідного множника округлене, то воно стає наближеним, наприклад: 1 кал = 4,1868 Дж ≈ 4,2 Дж.

2.Масштабні множники: 1:10000, то числа 1 і 10000 є точними; масштаб на географічних картах: в 1см – 40 км. Числа 1 і 40 вважаються точними.

3.Тарифи і ціни: 1м³ холодної води коштує 9,36 грн.

4.Умовні значення величин:

6. Показники степенів в алгебраїчних рівняннях.

7. Вважається, що всі цифри величин, які беруть з таблиць, вірні.

Але треба бути обережним в цих питаннях. Наприклад, точка кипіння води при нормальному атмосферному 100 ºC. Якщо це результат вимірювання – це наближене число. Якщо 100 ºC – реперна точка на шкалі, це точне число.

У фізиці всі числа, які отримані в результаті експерименту, є наближеними. Тому виникає потреба, окрім уміння швидко і надійно рахувати, осмислено застосовувати правила поводження з наближеними числами, що, безумовно, відповідає когнітивним аспектам природничої освіти.

Запровадження процедури ЗНО якості навчальних досягнень з фізики і хімії загострює проблему культури обчислень, на яку досить часто не звертають уваги учні, вчителі фізики, хімії та автори деяких навчальних посібників і збірників задач. Часто це пояснюють тим, що "учнів треба розвантажити", але так не можна робити.

У зв’язку з цим вважаємо доцільним нагадати деякі з цих правил. Обробку результатів експерименту або розв'язку кількісних задач можна проводити так, як вказано в частині 1 (таблиця 1). Але так не завжди зручно. Альтернативою цьому способу є метод верхньої і нижньої границь. Результати практично співпадають, але метод верхньої і нижньої границь часто зручніше, бо не потрібно шукати похідні і робити іноді громіздкі алгебраїчні перетворення. Метод границь – найбільш поширений метод при непрямих вимірюваннях. Взагалі, яким методом користуватись залишаємо на розсуд колег. При використанні методу верхньої і нижньої границь треба слідкувати, щоб в формулах, якими ми користуємось були тільки "віднімання – додавання" або "множення – ділення". Якщо в формулі зустрічаються дії однієї і іншої груп, наприклад, , то спочатку виконують дії одного типу, потім другого. Детальніше розглянемо це далі. Сутність методу в тому, що визначають два значення фізичної величини: одне більше ніж істинне значення – верхня границя (ВГ), друге значення менше ніж істинне значення – нижня границя (НГ). Тоді за істинне значення величини Y приймають середнє арифметичне значення її верхньої і нижньої границь:

При цьому границі абсолютної похибки дорівнюють напіврізниці границь:

Результат записуємо у вигляді:

Наведемо правила для обчислення НГ і ВГ для деяких дій:

Формула	Нижня границя (НГ)	Верхня границя (ВГ)

Тепер повернемося до залишеної нами формули .

Спочатку обчислимо:

і

.

Тепер можна обчислювати границі змін теплоємкості:
і , тепер і . Кінцевий результат .

Обчислення, проведені з надлишковою кількістю десяткових знаків, ніж це необхідно, вимагають зайвих зусиль. В той же час, погіршувати результати вимірів за рахунок грубих обчислень теж не має сенсу.

Приклад. В лабораторній роботі для визначення опору резистору отримали такі результати , . напруга була визначена з точністю 6%, сила струму визначена з точністю 4%. Звідси

Так як сумарна похибка не більша від 10%, то абсолютна похибка результату не більша ніж .

При обчисленні похибки вимірювань, якщо перша значуща цифра більша від 3, округлюємо її до однієї значущої цифри. Якщо, при обчисленні похибки перша значуща цифра менша від 4, залишаємо дві значущі цифри. В нашому випадку в перша значуща цифра . Тому ми повинні залишити дві значущі цифри:

Тобто:

Ясно, що в числі 2,592592593 хибною є перша 5 за комою, тому . В похибках зберігають більше однієї цифри тільки для дуже відповідальних і точних вимірюваннях. Тому:

А отже і написати не можна. Результат вимірювань надаємо у вигляді:

Ще раз, похибка, зазвичай, має одну значущу цифру і тільки при особо точних вимірюваннях – дві. Так як величина похибки не має вірних цифр, всі її цифри сумнівні. Дійсне значення величини округлюється до цифри, розряд якої співпадає з розрядом значущої цифри похибки.

Остання цифра дійсного значення величини сумнівна, інші – вірні. Число, для якого вказано допустиме відхилення (), тут , повинно мати останню значущу цифру того розряду, що остання цифра відхилення

Приклади:

Числові значення величини і її похибки записують в однакових одиницях: (123,4±0.7) кВ; (237,46±0,13) мм.

Спочатку нагадаємо про таке. Значущими цифрами наближеного значення числа називаються всі його цифри, крім нулів зліва і нулів справа, які стоять на місцях невідомих або відкинутих цифр. Нулі, що стоять наприкінці десяткового дробу, завжди значущі. Наприклад:

0,01045 – значущі цифри 1, 0, 4, 5;

8300 – значущі 8,3, а про два нулі потрібна додаткова інформація. Якщо 8300 – точна кількість предметів, нулі – значущі, якщо це число отримане при округленні, припустимо, 8312 до 8300,то нулі не є значущими.

Згідно міжнародних стандартів, у друкованому тексті, коли необхідно показати,що число є точним, після числа потрібно написати слово "точно" або остання значуща цифра друкується товстим шрифтом. Наприклад,

1 кВт·год = 3600000 Дж (точно), або = 360000 0 Дж

Слід розрізняти в записах наближених чисел значущі і незначущі цифри:

0,60·10³ – значущі 6,0;

0,00060 – значущі 6 і остання цифра 0;

20,40 – значущі 2,0,4,0;

20,4 – значущі 2,0,4.

Зробимо зауваження: для точних чисел записи 20,40 або 20,4 є однаковими, але для наближених наявність або відсутність останнього нуля є принциповою.

Приклад: 3500, якщо це число задане з точністю до сотень, то значущі 3,5; якщо це число задане з точністю до десятків, то значущі 3,5,0; якщо це число задане з точністю до одиниць, то значущі 3,5,0,0.

Щоб уникнути плутанини і не писати слово "точно", краще не записувати нулі, що не є значущими. Для цього існує два способи:

1.Перехід до кратних одиниць величин: 92500 В=92,5 кВ; 680 А=0,68 кА.

2.Заміна незначущих нулів на множник , тобто запис числа в стандартному вигляді. Наприклад, якщо число 1230000 має чотири значущі цифри, то його варто писати так: .

Правило 1. Під час додавання й віднімання наближених значень чисел, у записі яких всі цифри вірні, залишають стільки знаків, скільки їх має наближене дане з найменшою кількістю десяткових знаків.

Примітка. Це правило застосовується для додавання і віднімання тільки десяткових дробів. У тих випадках, коли необхідно працювати з цілими числами, їх варто привести до стандартного виду, з урахуванням зауважень з приводу нулів, що стоять наприкінці числа. Потім виносять за дужки множник 10 у старшій степені й працюють з числами у дужках відповідно до Правила 1.

Наведемо приклад:

.

Отриманий результат ми округляємо до двох десяткових знаків, тому що серед заданих чисел у числі 0,0063 тільки дві значущі цифри.

Правило 2. При множенні й діленні наближених значень чисел, у записі яких всі цифри вірні, залишають стільки значущих цифр, скільки їх має наближене дане з найменшою кількістю значущих цифр.

При обчисленні проміжних результатів варто зберігати на одну цифру більше, ніж рекомендовано в попередніх правилах.

Слід зауважити, що для підвищення культури розрахунків треба виконувати ці правила завжди й усіма. Наприклад, коли в задачах з механіки ми рекомендуємо вважати , то при обчисленні висоти, з якої впало тіло, у відповіді необхідно писати тільки одну значущу цифру, результат з більшою кількістю цифр є помилкою. І це повинно бути усвідомлено всіма. Наприклад, розрахуємо, з якої висоти впало тіло, якщо воно рухалось 11с, вважати . , . Але потрібно писати .

Якщо потрібна точність до двох значущих цифр, слід приймати . Отримаємо (останній 0 не є значущим). При точності у три значущі цифри необхідно , та вимагати . Отримаємо .

На уроках арифметики 4² = 16 та (4,0)² = 16. Але коли маємо справу з наближеними числами:

(одна значуща цифра);

(одна значуща цифра);

(одна значуща цифра);

(дві значущі цифри);

(три значущі цифри).

Рівень навчальних досягнень учнів з фізики визначається не тільки володінням теоретичними знаннями та уміннями використовувати їх при розв'язуванні задач різного типу, але й сформованістю експериментальних умінь, складовою яких є уміння визначати похибку отриманих результатів. Протягом усього періоду навчання учні використовують різні способи обчислення похибок. Якщо при проведенні ЗНО експериментальні уміння перевіряються за допомогою завдань, які містять світлину установки або її схему з малюнками чи світлинами відрізків шкал зі стрілками, значення показів приладів і ціни поділок шкал мають визначатися за цими світлинами. На жаль, навіть в цих експериментальних завданнях ЗНО не вимагають культурної обробки результатів (або нехай не дають таких завдань).

З усього, що було зазначено вище, необхідно зробити такі висновки:

1. Проблема культури математичних обчислень заслуговує на увагу, потребує обговорення та розв’язання учителями математики, фізики, хімії, біології як проблема, що пов’язана з формуванням надпредметних (кроспредметних) компетентностей учнів.

2. Авторам будь-яких навчальних посібників та організаторам моніторингових досліджень під час підготовки завдань враховувати означені проблеми.

3. Під час перевірки завдань відкритого типу ввести до критеріїв оцінювання уміння учня грамотно користуватися наближеними числами.

Для вчителів, які хочуть більш ретельно опанувати викладеними питаннями наводимо перелік інформаційних джерел, де найбільш повно висвітлені ці питання:

1. Зайдель А. Н. Ошибки измерений физических величин. Л.: Наука, 1974.

2. Советский энциклопедический словарь. Гл. редактор А. М. Прохоров. Изд. 4-е. — М.: Советская энциклопедия, 1987.

3. Физический энциклопедический словарь. Гл. редактор А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1983.

4. Фетисов В. А. Оценка точности измерений в курсе физики средней школы. М.: Просвещение, 1991.

5. Демкович В. П., Прайсман Н.Я. Приближенные вычисления в школьном курсе физики. - М.: "Просвещение", 1983.

6. Ятвецький В.М., Ятвецька Л.І. Обчислення в курсі фізики в середній школі. // Наша школа. – 2003. – № 3. С.116 – 121

7. Титаренко М.В. Електротехніка. – К.: "Кондор", 2004. – 240 с.

8. Копач С. О., Ятвецька Л. І., Ятвецький В. М. Розрахунки електричних кіл постійного струму, Частина 1. З’єднання резисторів.// Фізика в школах України №23-24 (219-220), грудень 2012 р. стор. 38-6-1 – 38-6-8.

9. Фетисов В. А. Оценка точности измерений в курсе физики средней школы. Книга для учителей. 2-е издание, переработанное, — М.: "Просвещение", 1991

Таблиця 2 Інструментальні похибки деяких приладів, які використовуються у школі

Таблиця 3. Набір шкільних важків 4 класу (різноважки)