Многокритериальные методы

Если в однокритериальных задачах методологической проблемой является решение экстремальной задачи, то в многокритериальной центр тяжести, смещен в сторону определения наилучшей альтернативы в задаче со многими критериями (с несколькими условными функциями), которые противоречивы и достигают максимума в различных точках множества альтернатив. Таким образом, возникает проблема векторной оптимизации.

Сложность указанной задачи обусловливается в первую очередь противоречивостью критериев и необходимостью использования некоторой схемы разумного компромисса, позволяющего гармонично повышать качество решения по всем локальным критериям.

Многокритериальный подход является естественно необходимым в следующих видах задач выбора решений:

1) когда решение определяет совместные действия нескольких объектов, эффективность каждого из которых оценивается отдельным критерием (например, совместная деятельность нескольких научных организаций);

2) когда качество решения необходимо оценивать для нескольких вариантов условий и для каждого варианта вводится отдельная оценка;

3) когда решение оценивается в динамике или поэтапно и для оценки качества решения на каждом этапе вводится самостоятельный критерий;

4) когда качество решения необходимо оценивать с нескольких точек зрения – по отдельным компонентам качества: например, оценка качества выполнения плана научных работ, уровню научных результатов, количеству израсходованных средств, ресурсов и т.п.

Задача выбора решения в случае нескольких критериев в общем виде может быть сформулирована следующим образом:

Пусть Y – множество решений (альтернатив), возможные варианты решений (Y₁, Y₂, …, Y_n) определены на допустимом множестве решений Y^д. Качество решения оценивается r скалярными критериями k₁, k₂, …, k_r, образующими вектор эффективности К =(k₁, k₂, …, k_r).

Вектор К связан с отображением Y К=F(Y), заданным или аналитически, или статистически, или даже эвристически. Необходимо найти оптимальное решение Y *, определяемое двумя условиями:

1) решение должно быть осуществлено, т.е. принадлежать допустимому множеству Y^д: ;

2) решение должно быть наилучшим, т.е. оптимизировать вектор эффективности К.

Данной формулировке соответствует модель оптимизации общего вида:

,

(6.1)

где opt – оператор оптимизации вектора эффективности, имеющий смысл отношения порядка F^-1 – обратное преобразование К в Y.

Эта модель является векторной моделью оптимизации, т.к. в ней критерий эффективности К – вектор, а реализация ее позволяет находить оптимальное решение Y *.

Эта модель может служить формальным обобщением процесса выбора решений, причем реализация модели может быть проведена любыми способами и совершенно не обязательно с использованием математики и вычислительных машин.

При многокритериальной оптимизации возникают три основные проблемы:

1) Первая проблема связана с выбором принципа оптимальности, который строго отрицает свойство оптимального решения и отвечает на вопрос, в каком смысле оптимальное решение Y * превосходит все остальные допустимые решения? В нашей модели это соответствует раскрытию оператора оптимизации вектора эффективности opt.

В отличии от задач однокритериальной оптимизации, у которых только один принцип оптимальности k(Y*)>=k(Y), в данном случае имеется большое количество различных принципов оптимальности, и каждый принцип может может приводить к выбору различных оптимальных решений. Это объяснятся тем, что приходится сравнивать векторы эффективности на основе некоторой схемы компромисса.

2) Вторая проблема связана нормализацией векторного критерия К. Она вызвана тем, что очень часто локальные критерии, являющиеся компонентами вектора эффективности, имеют различные масштабы измерения и их сравнение становится трудным или даже невозможным. Поэтому приходится приводить критерии к единому масштабу измерения, т.е. нормализовать их.

3) Третья проблема связана с учетом приоритета (или различной степени важности) локальных критериев. Хотя при выборе решения и следует добиваться наивысшего качества по всем критериям, однако, степень совершенства по каждому из них, как правило, имеет различную значимость. Поэтому для учета приоритета вводится вектор расределения важности критериев , с помощью которого корректируется принцип оптимальности или проводится дифференциации масштабов измерения критериев.

С этими проблемами связаны основные трудности многокритериальной оптимизации, и от того, насколько успешно они преодолены, во многом зависит успех и правильность выбора решения. Все эти трудности носят не вычислительный, а концептуальный характер, поэтому здесь непременно должно участвовать ответственное за принятие решения лицо или орган (ЛПР). Многокритериальная задача имеет вид (табл.6.1)

Таблица 6.1. Матрица оценок альтернатив

Где:

Y₁,..., Y_n – альтернативы;

k₁,..., k_m – критерии оценки альтернатив;

f₁₁,..., f_nm – оценки альтернатив по критериям (функция предпочтения или платежная матрица).

В многокритериальных задачах метод структурирования множества альтернатив называется решающим правилом. Все задачи можно разбить на группы:

1) многокритериальные задачи индивидуального выбора с большим количество критериев, которые имеют заданную структуру.

2) многокритериальные задачи индивидуального выбора с большим количество критериев, которые не имеют заданную структуру.

Для решения задач первой группы можно сформировать иерархическую структуру и использовать метод анализа иерархий (МАИ).

Для решения задач второй группы применяются специальные методы, основанные на определении многомерной метрики интегрального критерия одним из способов:

- мультипликативным методом свертки локальных критериев К = ;

- аддитивным методом свертки критериев:

- аддитивным методом свертки критериев с учетом их важности .

Однако такой подход применим, если все критерии измеряются в одной шкале. Поэтому в большинстве случаев возникает необходимость проводить нормализацию критериев, т.е искусственно приводить их к единой мере. Большинство принципов нормализации основывается на введении идеального решения, т.е. решения, обладающего идеальным вектором эффективности К_u. Тогда выбор оптимального решения становится равнозначным наилучшему приближению к этому идеальному вектору К_u = (k_1u, k_2u, …, k_ru). В этом случае вместо действительной величины критериев рассматривается или их отклонение от идеального значения или их безразмерная относительная величина

.

Следует заметить, что нормализация по сути дела сводится к некоторой трансформации пространства критериев – к выбору удобной и “справедливой” топологии, в которой задача выбора решения по нескольким критериям приобретает строгий и ясный смысл. Однако при этом не учитывают важность критериев. Рассмотрим возможные способы учета приоритета критериев.

Имеются два принципиально различных подхода для учета приоритета критериев: принцип жесткого и гибкого приоритета.

Принцип жесткого приоритета предполагает, что критерии расположены по важности в ряд предпочтения: k₁ > k₂ > …> k_r, на основе которого проводится последовательная оптимизация критериев. Преимуществом метода жесткого приоритета является то, что требует не задания коэффициентов важности критериев , а только расположения критериев в ряд предпочтения. Естественно, это не всегда возможно, например, когда имеется несколько одинаковых по важности критериев.

Принцип гибкого приоритета предполагает задание коэффициентов важности критериев , образующих вектор распределения . Это дает возможность при выборе решения отдавать некоторое предпочтение более важным критериям, что практически приводит к оценке качества с помощью взвешенного векторного критерия.

Для решения задач второй группы можно выделить методы: лексикографические, интерактивные и аксиоматические методы.