Интегрирование иррациональных выражений

Интегралы вида (m₁, n₁, m₂, n₂, … - целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от х. Они вычисляются подстановкой x=t^s, где s – общий знаменатель дробей , , … При такой замене переменной все отношения = r₁, = r₂, … являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной t:

Интегралы вида (m₁, n₁, m₂, n₂, … - целые числа). Эти интегралы подстановкой:

где s – общий знаменатель дробей , , …, сводятся к рациональной функции от переменной t.

Интегралы вида Для вычисления интеграла I₁ выделяется полный квадрат под знаком радикала:

и применяется подстановка:

, dx=du.

В результате этот интеграл сводится к табличному:

В числителе интеграла I₂ выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

где I₁ – вычисленный выше интеграл.

Вычисление интеграла I₃ сводится к вычислению интеграла I₁ подстановкой:

Интеграл вида Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.

Квадратный трехчлен ax²+bx+c путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:

Интеграл подстановкой

u=k sin t (или u=k cos t)

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

Интегралы вида (m, n, p є Q, a, b є R). Рассматриваемые интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома , выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) если p є Z, то применяется подстановка:

x=t^s,

где s – общий знаменатель дробей m и n;

2) если Z, то используется подстановка:

a+bxⁿ=t^s,

где s – знаменатель дроби

3) если Z, то применяется подстановка:

ax^-n+b=t^s,

где s – знаменатель дроби