Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=φ(t), откуда dx=φ’(t)dt.

Теорема. Пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:

- (2)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции переменной х. Тогда:

d(uv)=udv+vdu. – (3)

Интегрируя обе части равенства (3), получаем:

Но так как , то:

- (4)

Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла . Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.

В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.

I. Интегралы вида , , (P_n(x) – многочлен степени n, k – некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u=P_n(x) и применить формулу (4) n раз.

II. Интегралы вида , , , , (Pn(x) – многочлен степени n относительно х). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при P_n(x).

III. Интегралы вида , (a, b – числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.