Семинарское занятие 1.2

Применение функции в экономике.

1. Фирма «Алые паруса», выпускающая компьютерную технику, провела опрос дилеров и получила следующие сведения о спросе Qна свою продукцию в зависимости от цены Р:

Найти область определения и множество значений функции.

Решение. Область определения данной функции – значения Р, множество значений – величины Q.

2. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле y=ax+b, где x– объем партии, причем параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса: для первого из них у=1,45х+20, для второго – у=1,475х+10. Требуется провести оценку двух вариантов, т.е. определить, какой из них выгоднее (связан с меньшими издержками) в зависимости от объема партии; найти себестоимость продукции для обоих вариантов при х=200 деталей.

Решение. Находим координаты точек пересечения прямых Так как при х=0 для первого варианта у=20, а для второго у=10, т.е. первый вариант дороже, то при всех х< 400 второй вариант выгоднее. При х > 400 выгоднее первый вариант, а при х=400 варианты эквивалентны. При х=200 по первому варианту у=310, по второму – у=305.

3. Законы спроса и предложения на некоторый товар определяются уравнениями р=-2х+12 и р=х+3. а) Найти точку рыночного равновесия; б) Найти точку равновесия после введения налога, равного 3. Найти увеличение цены и уменьшение равновесного объема продаж.

Решение. а) Находим точку равновесия М: х+3=-2х+12 х=3; р=6. Точка М(3,6) является точкой равновесия.

б) Если введен налог t=3, то система уравнений для определения новой точки равновесия примет вид

Используя соотношения между ценой на рынке и ценой , получаемой поставщиками, имеем следующую систему для определения точки рыночного равновесия:

Решая эту систему, получаем новую точку равновесия Следовательно, после введения налога равновесная цена увеличилась на 2 единицы, а равновесный объем уменьшился на 1 единицу.

Задания для аудиторной работы

1. Постоянные издержки F (не зависящие от числа х единиц произведенной продукции) составляют 125 т.р. в месяц, а переменные издержки V(х) (пропорциональные х) – 700 р. За каждую единицу продукции. Цена единицы продукции 1200 р. Найти объем продукции х, при котором прибыль равна: а) нулю (точка безубыточности); б) 105 т.р. в месяц.

2. Продолжительность выполнения у (мин.) при повторных операциях связана с числом х этих операций зависимостью . Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях, если известно, что при х=20 у=125, а при х=200 у=50.

3. Станок был куплен за 12000 р. По нормам его остаточная стоимость равна нулю, а срок службы составляет 8 лет. Написать уравнение, определяющее стоимость станка в зависимости от времени tпостроить график. Найти стоимость станка через 7 лет и 3 месяца эксплуатации.

4. Газовая плита была куплена за 800 р. Амортизация начисляется линейно и составляет 15% в год от первоначальной стоимости. Найти: а) стоимость газовой плиты через t лет; б) стоимость газовой плиты через 6 лет после начала эксплуатации; в) срок службы плиты.

5. Постоянные издержки при производстве ручных часов составляет 12000 р. В месяц, переменные – 300 р. За одни часы. Цена часов 500 р. Написать функцию дохода и издержек. Построить графики. Найти точку безубыточности.

6. Функция издержек производства шин имеет вид С(х)=30х+2100. Цена 1 шины 60 р. Найти точку безубыточности. Построить график.

7. Фиксированные издержки составляют 10 т.р. в месяц, переменные издержки – 30 р., выручка – 50 р. За единицу продукции. Составить функцию прибыли и построить ее график. При каком объеме производства производство будет безубыточным?

Семинарское занятие 1.3:

Предел числовой последовательности. Предел функции.

1. Доказать, что для последовательности 0; .

Решение. Пусть, напрмер , .

Пусть , неравенство выполняется при .

Итак, при .

2. Вычислить пределы: 1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение. 1). = =-11.

2). =∞, так как (х-4)→0 при х→4, (2х+5)→13, тогда дробь неограниченно возрастает.

3). ≤ =0. 4). ≤ =∞.

Ответ. 1). –11; 2). ∞; 3). 0; 4). ∞.

3. Вычислить пределы:

1). ; 2). ; 3). .

Решение. 1). = = = =0.

2). = = =2.

3). = =∞.

Ответ. 1). 0; 2).2; 3). ∞.

4. Вычислить пределы: 1). ; 2). .

Решение. 1). = = = -1/2.

2). = = = = - = -2/3.

Ответ. 1).-1/2; 2). –2/3.

5. Вычислить пределы. 1). .

Решение. 1). = = = =0.

Ответ. 1). 0.

Задания для аудиторной работы

1. Доказать, что для последовательности 1; имеет предел .

2. Доказать, что .

3. Вычислить пределы:

1) 2) 3)

4. Вычислить пределы:

1). ; 2). ; 3). ;

4). ; 5)

5. Вычислить пределы:

1) ; 2) ; 3)

6. Вычислить пределы. 1). ; 2) ;

3)

7. Вычислить пределы. 1). ;

2) .