Метод Берремана

Для решения задачи о прохождении света сквозь многослойную структуру используются матричный 4x4 метод Берремана, основанный на уравнениях Максвелла. Основные идеи алгоритма основаны на точных преобразованиях уравнений к матричной форме при условии однородности оптической среды (слоя) в направлении оси z. Матрица Берремана, являясь переходной матрицей линейного дифференциального уравнения, позволяет учесть интерференционные эффекты многократного отражения, возникающего между слоями. В конечном итоге она определяет линейное преобразование между тангенциальными компонентами электрического и магнитного полей на входе оптической системы и соответствующими компонентами отражения и пропускания на выходе.[11]

Система уравнений Максвелла для немагнитных сред при отсутствии сторонних токов и зарядов:

cводится к системе 4 линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Начальными условиями системы являются и компоненты падающей волны, в качестве решения получаем компоненты отраженной и прошедшей волны

где матрица коэффициентов дифференциального уравнения получается из элементов тензоров оптической и магнитной проницаемости (в данном случае – только оптической).

Если диэлектрические характеристики системы плавно меняются вдоль оси , можно использовать метод Рунге-Кутты. Удобнее «разбить» образец на слои, в каждом из которых можно считать характеристики слоя постоянными, то есть матрица коэффициентов уравнения станет постоянной. Тем более, в большинстве реальных задач диэлектрические свойства пленок постоянны вдоль выделенного направления. Тогда для каждого слоя решение уравнения можно записать в виде:

, где – толщина слоя, принято называть матрицей Берремана для одного слоя. Вектор состоит из компонент полей отраженного и прошедшего (слева) и падающего (справа). [11,12]

В случае моделирования многослойной системы, решение уравнения выглядит следующим образом:

Одномерная неоднородная среда может быть полностью описана большим числом плоскопараллельных слоев, каждый из которых считается однородным. Для каждого из слоев могут быть достаточно просто решены волновые уравнения. Решения для смежных слоев могут быть совмещены при помощи граничных условий для тангенциальных компонент электромагнитного поля.

Для нахождения матрицы Берремана необходимо использовать устойчивый способ нахождения экспоненциальной функции от комплекснозначной матрицы коэффициентов системы дифференциальных уравнений.

- разложение в ряд Тейлора,

- применение формулы Сильвестра-Лагранжа и метода Лаггера,

-применение преобразования подобия для нахождения функции от матрицы совершенствованного алгоритма Якоби для нахождения собственных значений векторов. [2]

После нахождения переходной матрицы для всей моделируемой системы слоев переходим к решению СЛАУ 4 порядка:

вектор падающей волны,

вектор отраженной волны,

вектор прошедшей волны,

, , .

Здесь и – действительные коэффициенты преломления изотропных входной и выходной сред; и – углы светового луча во входной и выходной средах. Между параметрами и выполняется соотношение (закон Снеллиуса)

` Для того, чтобы в СЛАУ осталось 4 неизвестных, необходимо тангенциальные компоненты векторов магнитного поля выразить через соответствующие тангенциальные компоненты векторов электрического поля.[11]

Найденные комплексные значения амплитуд служат основой для вычисления основных параметров для отраженного и прошедшего лучей: коэффициентов отражения и пропускания, векторов Стокса, степени деполяризации и многих других параметров. В частности, коэффициенты отражения и пропускания окончательно вычисляются по формулам:

Модели многослойных просветляющих покрытий.

График 1. Результат, ось x – длина волны, ось y - пропускание в процентах.

Видно, что на длине волны 470-670 нм пропускание составляет 0%.

Модель:

10 слоев, каждый слой состоит из 2-х тонких пленок:

1 слой с большим коэффициентом диэлектрической проницаемости,

2-ой слой с малым коэффициентом диэлектрической проницаемости.

Они нанесены на стеклянную подложку.

График 2. Пропускание (Ts, Tp) и отражение (Rs,Rp) многослойной структуры с некоторыми произвольными толщинами слоев.

График 3. Пропускание и отражение многослойной структуры с оптимальными для пропускания толщинами слоев.