Пример задачи линейного математического программирования

Задача о рационе питания (задача о диете)

Задача о смесях появляется при составлении рациона питания животных, удовлетворяющего конкретным медицинским требованиям так, чтобы затраты на «меню» были сведены к минимуму [13].

Допустим, что у нас в наличии есть продуктов питания (зерно, комбикорм, сено и др.). Обозначим данные продукты с помощью . Пусть, – это стоимость единицы веса (например, цена килограмма) продукта F_i. Правильная диета обязана приносить животному пользу, то есть обеспечивать его необходимыми элементами, такими как белки, углеводы, кальций, калий, магний, фосфор и др. Обозначим данные элементы через . Тогда можно составить таблицу 1 указывающую, на то, какой объем каждого элемента имеется в единице веса любого продукта.

Таблица 1 – Содержание нужных веществ в каждом виде продукта

Получается, что величина a_ij это количество i-го элемента, присутствующего в единице веса j-го продукта. Матрица называется матрицей питательности.

Вектор решения для рациона питания должен показать, какое количество x_i i-го продукта должно содержаться в меню«исследуемого» животного за день (месяц, квартал, год). Он означает, что за определенный промежуток времени животное должно быть обеспеченоx₁единиц первого продукта, x₂ единиц второго, …, x_n единиц n-го продукта.

Какие же требования могут быть предъявлены к рациону? Выполнение конкретных медицинских требований. Они состоят в том, что за определенный срок животное должно получить не менее необходимого количества каждого элемента. Обозначим через b_j, то минимально необходимое количество j-го элемента, которое должно получить животное. В таком случае, рацион питания должен соответствовать полученным ограничениям (2.1).

(2.1)

Тогда стоимость всей диеты будет составлять:

(2.2)

где – цена единицы веса i-го продукта.

Очевидно, что затраты должны быть как можно меньше. Поэтому задача приобретает такой вид: найти рацион (2.2) минимальной стоимости при выполнении всех ограничений (2.1). Математически это выглядит так:

(2.3)

Таким образом, очевидно что:

- реальная задача приобрела строгую математическую форму;

- функция цели (стоимость питания) является линейной функцией;

- ограничения на значения переменных x₁, x₂, …, x_n имеют вид системы линейных неравенств.