Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Критичні точки функції, максимуми і мінімуми
|
|
Внутрішні точки області визначення функції, у яких її похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками цієї функції. Ці точки відіграють важливу роль при побудові графіка функції, оскільки тільки вони можуть бути точками екстремуму функції (мал. 103 і 104). Сформулюємо відповідне твердження, його називають теоремою Ферма (на честь французького математика Пьера Ферма).
Необхідна умова екстремуму. Якщо точка x0 є точкою екстремуму функції 
й у цій точці існує похідна 
, то вона дорівнює нулю: 
.
Важливо відзначити, що теорема Ферма є лише необхідну умову екстремуму: з того, що похідна в точці 
звертається в нуль, необов'язково випливає, що в цій точці функція має екстремум. Наприклад, похідна функції 
звертається в нуль у точці 0, але екстремуму в цій точці функція не має (рис. 105).
Рис. 105
Дотепер ми розглядали критичні точки, у яких похідна дорівнює нулю. Розглянемо тепер критичні точки, у яких похідна не існує. (Відзначимо, що, наприклад, точка 0 для функції 
не є критичної: у ній похідна не існує, але вона не внутрішня точка області визначення.) У цих точках функція також може чи мати не мати екстремум.
З теореми Ферма випливає, що при знаходженні точок екстремумів функції потрібно в першу чергу знайти її критичні точки. Але, як видно з розглянутих прикладів, питання про тім, чи дійсно дана критична точка є точкою екстремуму, вимагає додаткового дослідження. При цьому часто допомагають такі достатні умови існування екстремуму в точці.
Ознака максимуму функції. Якщо функція неперервна в точці , а 
на інтервалі 
на інтервалі 
, то точка є точкою максимуму функції .
Зручно користатися спрощеним формулюванням цієї ознаки:
Якщо в точці похідна змінює знак із плюса на мінус, тобто точка максимуму.
Ознака мінімуму функції. Якщо функція неперервна в точці , а 
на інтервалі 
на інтервалі , то точка є точкою мінімуму функції .
Зручно користатися спрощеним формулюванням цієї ознаки:
Якщо в точці похідна змінює знак з мінуса на плюс, тобто точка мінімуму.
Приклад 3. Знайдемо точки екстремуму функції 
.
Похідна цієї функції, рівна 
, визначена у всіх точках і звертається в нуль у точках –1 і 1. У точці –1 похідна змінює знак з мінуса на плюс ( при 
і при 
). У точці 1 похідна змінює знак із плюса на мінус. Користаючись ознаками максимуму і мінімуму, одержуємо, що точка –1 є точкою мінімуму, а точка 1 — точкою максимуму функції . Графік функції зображений на рисунку 108.
Рис. 108
ЛІТЕРАТУРА
1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.
2. Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.
3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.
4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.
5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.
6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.
7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.
8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.
9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд. дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.
10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.
11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.
ReferatFolder.Org.Ua ― Папка українських рефератів
Date: 2015-09-22; view: 756; Нарушение авторских прав