Екстремуми

Зростання й спадання функцій

Означення. Функція зростає на множині , якщо для будь-яких x ₁ і x ₂ з множині , таких, що x ₂ > x ₁, виконується нерівність .

Означення. Функція спадає на множині , якщо для будь-яких x ₁ і x ₂ з множині , таких, що x ₂ > x ₁, виконується нерівність .

Іншими словами, функція називається зростаючою на множині , якщо більшому значенню аргументу з цієї множині відповідає більше значення функції. Функція називається спадаючою на множині , якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Екстремуми.

Означення. Околом точки а називається будь-який інтервал, що містить цю точку. Наприклад, інтервал (2; 6) — один з околів точки 3, інтервал (–3,3; –2,7) — окол точки –3.

Означення. Точка x ₀ називається точкою мінімуму функції f, якщо для всіх x з деякого околу x ₀ виконана нерівність (рис. 42).

Рис. 42

Означення. Точка x ₀ називається точкою максимуму функції f, якщо для всіх x з деякого околу x ₀ виконана нерівність (рис. 43).

Рис. 43

За означенням значення функції в точці максимуму є найбільшим серед значень функції з деякої околу цієї точки, тому графік функції в околу , як правило, має вид гладкого «пагорба» (рис. 43, а і рис. 44 — точки x ₁, x ₂, x ₃) чи загостреної «піки» (рис. 43, б). В околу точки мінімуму графіки, як правило, зображуються у виді «западини», чи теж гладкої (рис. 42, б — точка , рис. 44 — точки x ₄, x ₅), чи загостреної (рис. 42, а — точка і рис. 44 — точка x ₆).

Рис. 44

Для точок максимуму і мінімуму функції прийнята загальна назва — їх називають точками екстремума. Значення функції в цих точках називають відповідно максимумами і мінімумами функції (загальна назва — екстремум функції). Точки максимуму позначають x _max, а точки мінімуму x _min. Значення функції в цих точках позначаються відповідно y _max і y _min.