Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Примеры решения задач. Пример 4. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с двумя пластинами площадью S=100 см2 каждая и катушки с индуктивностью L=l мкГн





Пример 4. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с двумя пластинами площадью S=100 см2 каждая и катушки с индуктивностью L=l мкГн, резонирует на волну длиной λ=10 м. Определить расстояние d между пластинами конденсатора.

Решение. Расстояние между пластинами конденсатора можно найти из формулы электроемкости плоского конденсатора С=ε0εS/d, где ε — диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конденсатор, откуда

d=ε0εS/C (1)

Из формулы Томсона, определяющей период колебаний в электрическом контуре: , находим электроемкость

. (2)

Неизвестный в условии задачи период колебаний можно определить, зная длину волны λ, на которую резонирует контур. Из соотношения λ =сТ имеем

Т= λ /с.

Подставив выражения периода Т в формулу (2), а затем электроемкости С в формулу (1), получим

.

Произведя вычисления, найдем d=3,14 мм.

6.5.1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С=5 мкФ и катушки с индуктивностью L=0,200 Гн. Определить максимальную силу тока I0 в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора U0=90 В. Активным сопротивлением контура R пренебречь.

Решение. Рассмотрим два способа решения задачи. Первый из них основан на исследовании уравнения свободных электромагнитных колебаний

, (1)

где – амплитуда свободных (затухающих колебаний);

=R/2L – коэффициент затухания;

w – циклическая частота;

q0 – начальная амплитуда (определяется из начальных условий);

0 – начальная фаза (определяется из начальных условий.

Второй способ основан на законе сохранения энергии.

1. Если в колебательном контуре сопротивление R пренебрежимо мало, то в уравнении (1), выражающем заряд конденсатора как функцию времени, можно положить коэффициент затухания =0. Тогда, согласно выражению

w= ,

получим w0=w. Следовательно, в контуре будут незатухающие колебания, при этом

q=q0sin(wt+0), (2)

Сила тока есть производная от заряда по времени. Поэтому, дифференцируя обе части (2) по времени, получим для силы тока в контуре уравнение



I=w0q0.cos(wt+0).

Величина I0=w0.q0 является амплитудным, т.е. максимальным, значением тока в контуре. Подставив w0= и учитывая соотношение q0=CU0, определим искомую величину:

I0=w0q0=CU0 =U0. .

2. В процессе незатухающих электромагнитных колебаний полная электромагнитная энергия контура, равная сумме энергий электрического поля конденсатора WС=CU2/2 и магнитного поля катушки WL=LI2/2, остается величиной постоянной: W=WС+WL=const. При этом в те моменты, когда конденсатор максимально заряжен (U=U0), сила тока равна нулю. Следовательно, полная энергия контура

. (3)

В момент полной зарядки (U=0), сила тока в контуре достигает максимального значения I0. Тогда полная энергия равна

. (4)

Приравняв правые части формул (3), (4), найдем

.

Подставив значения величин, выраженные в единицах СИ, и произведя вычисления, получим I0=0,45 А.

Ответ: I0=0,45 А.

6.5.2. Добротность колебательного контура Q=5,0. Определить, на сколько процентов отличается частота w свободных колебаний контура от его собственной частоты w0?

Решение. Во всяком реальном контуре, обладающим сопротивлением R, частота свободных электромагнитных колебаний w меньше собственной частоты контура w0 (т.е. частоты колебаний при R®0). В задаче требуется найти величину x=(w0 – w)/w0=1 – w/w0. (1)

Добротность контура выразим через величины w, w0, используя формулы

; ;

и соотношение T=2p/w, откуда имеем

Q=p/=p/T=w/2= . (2)

Введя обозначения a=w/w0, из (2) получим

.

Определив отсюда величину a, на основании (1) найдем

x=1 – a=1 – 2Q/(1+4Q2)1/2. (3)

Переходя к вычислениям, учтем, что в данном случае 4Q2>>1. Поэтому формулу (3) можно упростить. Разделив числитель и знаменатель на 2Q и применив формулы приближенного вычисления, получим

x=1 – 1/(1+4Q2)1/2 ~ 1 – 1/(1+8Q2) ~ 1 – (1 – 1/8Q2)=1/8Q2.

Подставив значение Q, произведем вычисления

x=0,5010-2, или x=0,50 %.

Ответ: x=0,50 %.

6.5.3. В цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора сопротивлением R=20 Ом, катушки индуктивностью L=1,0 мГн и конденсатора емкостью C=0,10 мкФ, действует синусоидальная ЭДС Определить частоту w ЭДС, при которой в цепи наступит резонанс. Найти также действующее значение силы тока I и напряжений UR, UL, UC на всех элементах цепи при резонансе, если при этом действующее значение ЭДС E= 30 В.

Решение. Под действием переменной ЭДС в данной цепи, представляющей собой колебательный контур, установятся вынужденные электромагнитные колебания. При этом амплитудные значения I0 и ЭДС E0 связаны соотношением

.

Из формул Iд= ; Eд= видно, что между действующими значениями тока Iд и ЭДС Eд существует то же соотношение, что и между величинами I0, E0. Поэтому (опуская для простоты индексы у величин Iд, Eд) запишем



. (1)

Очевидно, максимальному току при резонансе Iрез соответствует такое значение w, при котором в формуле (1) выражение (Lw – 1/Cw)2=0. Отсюда определяем резонансную частоту:

w=wрез=[1/(LC)]1/2=1,0105 рад/с. (2)

При этом сила тока равна

Iрез=E/R=1,5 А.

Зная силу тока Iрез, найдем действующие значения напряжения на каждом из элементов контура R, L, C, применив закон Ома для каждого из участков

UR=IрезR=E=30 В;

UL=IрезLw=ELw/R=150 В;

UC=Iрез[1/(wC)]=UL=150 В.

Равенство UL=UC следует из равенства емкостного и индуктивного сопротивлений при резонансе.

Ответ: wрез=1,0105 рад/с; Iрез=1,5 А; UR=30 В; UL=150 В; UC=150 В.

6.5.4. Определить действующее значения силы тока на всех участках цепи, состоящей из параллельно включенных C, R, L и E, если R=1,0 Ом, L=1,0 мГн, C=0,110 мкФ, E=30 В, w=1,00105 рад/с.

Решение. Эта цепь отличается от предыдущей способом включения источника переменной ЭДС (внутренним сопротивлением которого мы пренебрегаем). Если раньше все элементы цепи были включены последовательно, то в данном случае имеем разветвленную цепь переменного тока, одна из ветвей которого является параллельным соединением двух ветвей: конденсатора C и элементов R, L, соединенных последовательно между собой. Каждая из ветвей вместе с источником ЭДС образует колебательный (неполный) контур. Поэтому силу тока в каждой ветви снова найдем по формуле

,

заменив амплитудные значения величин I0, ε0 их действующими значениями I, E. Тогда для силы тока в ветви, состоящей из конденсатора C, где R=0, L=0, получим

IC=ECw=0,33 А. (1)

В ветви R-L, где отсутствует емкостное сопротивление RC=1/(wC), сила тока с учетом того, что R2<<(Lw)2 равна

=0,30 А. (2)

Если бы переменные токи в обеих ветвях имели одинаковые фазы, то сила тока в неразветвленной части цепи была бы равна сумме сил токов IC, IRL. Однако эти токи имеют различные фазы: между каждым из них и ЭДС E существует сдиг фаз, определяемый формулой

.

Применим эту формулу для каждой ветви. Для ветви с конденсатором C: R=0, L=0.

Следовательно,

tgC ® -¥; C=-p/2.

Для ветви R-L, учитывая, что 1/(wC)=0, получим

tgRL=Lw/R=100; RL ~ p/2.

В формуле I=I0sin(wt-) величина  стоит со знаком "-"; это означает, что ток IC опережает по фазе ЭДС E на p/2, а ток IRL отстает по фазе от ЭДС E на p/2. В связи с этим, ток в неразветвленной цепи

I=IC – IRL=0,03 А. (3)

Замечание. В данной задаче величины R, L, w были связаны соотношением R<<Lw. Именно поэтому переменные токи в параллельных ветвях

оказались в противоположных фазах (D ~ p). Если при этом величины w,C, L оказались бы связанными соотношением w=wрез=[1/(LC)]1/2, то, как видно из формул (1), (2), величины IC, IRL приблизительно одинаковы и согласно формуле (3), I=IC-IRL ~ 0. Точнее, при R ® 0, I ® 0 и, следовательно, полное сопротивление переменному току всего участка стремится к бесконечности. В этом случае наблюдается резонанс токов (в отличие от резонанса напряжений, рассмотренного в предыдущей задаче). Таким образом, при наличии неравенства R<<Lw условие резонанса токов совпадает с условием резонанса напряжений.

6.5.5. Два параллельных провода, погруженные в бензол, индуктивно соединены с генератором высокочастотных электромагнитных колебаний. При частоте n=100МГц в системе устанавливаются стоячие электромагнитные волны. Перемещая вдоль проводов газоразрядную трубку А, по ее свечению определяют положения пучностей напряженности электрического поля. Расстояние между соседними пучностями оказалось равным l=1,00 м. Найти диэлектрическую проницаемость бензола.

Решение. Стоячие электромагнитные волны возникают в результате интерференции волн, распространяющихся по двухпроводной линии от генератора в прямом направлении, с волнами, отраженными от конца линии. Учтем, что при данной высокой частоте электромагнитных колебаний основные процессы, связанные с распространением электромагнитных волн вдоль линии, происходят не в проводах, а в окружающей их среде (в следствие скин-эффекта переменный ток частоты n=108 Гц течет практически лишь по поверхности проводов).

Согласно теории Максвелла, скорость электромагнитных волн в среде связана с их скоростью в вакууме формулой:

, (1)

где c =3,00108 м/с – скорость распространения электромагнитных волн(света) в вакууме.

Из формулы (1), учитывая, что для бензола  ~ 1, найдем его диэлектрическую проницаемость

e=c2/v2. (2)

Скорость электромагнитных волн связана с длиной волны  и частотой n соотношением v=n. Поскольку расстояние между соседними пучностями в стоячей волне равно половине длины волны, т.е. =2l, то получим

e=c2/v2=c2/(4l2n2). (3)

Подставив числовые значения величин, выраженные в единицах СИ, и выполнив вычисление, найдем e= 2,2.

Ответ: e=2,2.

Пример 5. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L= 1,2 мГн и конденсатора переменной электроемкости от C1=12 пФ до С2=80 пФ. Определить диапазон длин электромагнитных волн, которые могут вызывать резонанс в этом контуре. Активное сопротивление контура принять равным нулю.

Решение. Длина λ электромагнитной волны, которая может вызвать резонанс в колебательном контуре, связана с периодом Т колебаний контура соотношением

λ =сТ. (1)

Период колебаний, в свою очередь, связан с индуктивностью L катушки и электроемкостью С конденсатора колебательного контура соотношением (формула Томсона) . Следовательно,

. (2)

Согласно условию задачи, индуктивность контура неизменна, а электроемкость контура может изменяться в пределах от C1 до C2. Этим значениям электроемкости соответствуют длины волн λ1 и λ2,, определяющие диапазон длин волн, которые могут вызвать резонанс. После вычислений по формуле (2) получим:

λ1=226м; λ2=585 м.

6.5.6. Определить энергию, которую переносит за время t=1,00 мин плоская синусоидальная электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме, через площадку S=10,0 см2, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Амплитуда напряженности электрического поля волны E0==1,00 мВ/м. Период волны T<<t.

Решение. Энергия переносимая электромагнитной волной за единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны, определяется вектором ПойнтингаP=[EH]. Учитывая, что в электромагнитной волне векторыE,H взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения волны, получим для модуля вектораP

P=EH. (1)

Поскольку обе величины E, H, характеризующие электромагнитную волну, в каждой ее точке меняются во времени по закону синуса, находясь в одинаковых фазах, соотношение (1) можно записать так:

P=E0sinwtH0sinwt=E0H0sin2wt. (2)

Таким образом, величина P является функцией времени, и формулы (1), (2) дают лишь мгновенное значение величины P. Поэтому, согласно определению вектора плотности потока энергии, запишем

.

Отсюда энергия dW, переносимая волной через площадку S за время dt, с учетом формулы (2), равна

dW=PdS=E0H0Ssin2(wt)dt. (3)

Здесь неизвестна величина H0. Воспользуемся тем, что между величинами E, и H, характеризующими электромагнитную волну в одной и той же точке, существует простое соотношение. Найдем его, учитывая, что, согласно теории электромагнитных волн, плотности энергии электрического и магнитного полей волны в любой момент времени равны, т.е.

. (4)

Так как, по условию, e==1, то из (4) получим

H=E(e0/0)1/2.

Так же связаны между собой и амплитудные значения E0, H0. Тогда уравнение (3) примет вид

dW=(e0/0)1/2E02Ssin2(wt)dt.

После интегрирования, с учётом того, что в силу неравенства T<<t членом sin(2wt)/4w можно пренебречь, получим

.

Подставив числовые значения величин, выраженные в единицах СИ, и выполнив вычисления, найдем

W=8,010-11 Дж.

Ответ: W=8,010-11 Дж.

 






Date: 2015-09-18; view: 3786; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.015 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию