Примеры решения задач. Пример 1. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I=50 А, расположена прямоугольная рамка так

Пример 1. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I=50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны ее длиной l=65 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?

Решение. Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением

В нашем случае вектор магнитной индукции В перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки В_n=В. Магнитная индукция В, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

,

где x— расстояние от провода до точки, в которой определяется В.

Для вычисления магнитного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также зависеть от х, то

dф=B(x)dS.

Разобьем площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS=ldx (рис. 24.2). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние х) от провода. С учетом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

dФ=

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x₁=a до х₂=2а, найдем

|_p^2p.

Подставив пределы, получим

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб): [m₀] [I] [l]= Гн/м ∙1 А ∙1 м=1 Вб. Произведя вычисления по формуле (1), найдем Ф=4,5 мкВб.

3.3.1. Виток медной проволоки охватывает сердечник трансформатора. Вследствие изменения силы тока в обмотке трансформатора магнитный поток внутри сердечника равномерно изменяется со скоростью 30 Вб/с. К точкам А,В, которые делят виток на два участка, подключается вольтметр. Определить его показания. Считать сопротивление витка ничтожно малым по сравнению с сопротивлением вольтметра.

Решение. В задачах электростатики и постоянного тока вольтметром измеряется разность потенциалов точек, к которым он подключен. В данном случае изменение магнитного поля вызывает появление вихревого электрического поля с замкнутыми линиями векторов E и D. Поэтому понятие потенциала здесь теряет смысл, поскольку работа по перемещению заряда по замкнутому контуру в таком поле не равна нулю.

Пусть вольтметр сначала включен в положение 1. При этом контуры Al₁Bl₂A, AVBl₂A пронизываются переменным магнитным потоком и в каждом из них должна возникать одна и та же ЭДС электромагнитной индукции, равная

E=-dФ/dt=30 В.

Следовательно, по всем проводникам, в том числе и вольтметру, должен течь индукционный ток.

Показание вольтметра всегда пропорционально проходящему через него току, т.е. U=I_vR_v, где U – напряжение на участке цепи, которым является сам вольтметр, равное линейному интегралу напряженности E_ст электрического поля, взятому вдоль данного участка.

Величину I_vR_v найдем, применив правила Кирхгофа для разветвленных цепей. По первому правилу Кирхгофа для узла А имеем:

I₁+I_v=I₂. (1)

Выбрав направление обхода контуров по часовой по часовой стрелке, получим согласно второму правилу Кирхгофа соответственно для контуров Al₁Bl₂A и AVBl₂A, учитывая, что сквозь последний контур магнитный поток не проходит:

I₁R₁+I₂R₂=E, (2)

I_vR_v – I₁R₁=0. (3)

Из последнего уравнения находим показание вольтметра:

U=I_vR_v=I₁R₁. (4)

Таким образом, измеряя напряжение на самом себе, вольтметр измеряет также напряжение на том участке витка, с которым он образует контур не пронизываемый магнитным потоком.

Если известны R₁, R₂, R_v, E, то, решив систему (1), (2), (3), найдем все токи и показания вольтметра. В условии задачи эти величины не даны, зато выполняются соотношения: R_v>>R₁, R_v>>R₂. Они позволяют пренебречь силой тока Iv в цепи вольтметра, по сравнению с величинами I₁, I₂. Тогда из уравнений (1), (2) получим

I₁=I₂=I=E/(R₁+R₂).

Подставив это значение I₁ в формулу (4) и учитывая, что сопротивление проволоки пропорционально ее длине, найдем

=10 В.

Когда вольтметр включен в положение 2, он измеряет напряжение на участке Bl₂A (так как с ним образует контур, не пересекаемый магнитным потоком). Следовательно,

U'=I₂R₂=E – I₁R₁=20 В.

Таким образом, в случае индукционных токов показания вольтметра зависят не только от положения точек, к которым он подключен, но и от расположения самого прибора.

3.3.2. По длинному соленоиду с немагнитным сердечником сечением S=5,0 см², содержащему N=1200 витков, течет ток силой I=2,00 А. Индукция магнитного поля в центре соленоида B=10,0 мТл. Определить его индуктивность.

Решение. Задача решается двумя способами.

1. Индуктивность длинного соленоида выражается формулой:

, (1)

где n=N/l – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида;

S – площадь его поперечного сечения;

V – его объем.

Длину соленоида можно определить, воспользовавшись формулой

B=₀NI/l,

откуда

l=₀NI/B.

Подставив это значение l в (1) и произведя сокращения, получим:

L=NBS/I. (2)

Выразив входящие в формулу величины в единицах системы СИ, выполним вычисления:

L=12001,0010^-25,010^-4/2,00=3,010^-3 Гн.

2. Задачу можно решить, исходя из общего определения индуктивности контура, как коэффициента пропорциональности между силой тока в нем и собственным магнитным потоком сквозь контур:

Ф=LI, (3)

где Ф=NФ' – потокосцепление (полный магнитный поток) – сумма потоков Ф', проходящих сквозь каждый виток соленоида.

В рассматриваемом случае Ф=NBS. (4)

Подставив (4) в (3), для индуктивности соленоида, будем иметь:

L=NBS/I,

что совпадает с (2).

Ответ: L=3,010^-3 Гн.

Пример 5. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром d=0,2 мм. Диаметр D соленоида равен 5 см. По соленоиду течет ток I=1 А. Определить количество электричества Q, протекающее через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.

Решение. Возможны два способа решения, 1-й способ. Количество электричества dQ, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством

(1)

Полное количество электричества, протекающее через проводник за время t, будет . Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой

Внося выражение силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до ¥ (при t®¥I®0), получим

Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку:

(2)

2-й способ. Подставив в формулу (1) вместо силы тока I выражение ее через ЭДС индукции , и сопротивление R соленоида, т. е.

Но связана со скоростью изменения потокосцепления Y по закону Фарадея —Максвелла: =-dY/dt, тогда

Интегрируя, получаем

(3)

Потокосцепление Y пропорционально силе тока в соленоиде. Следовательно, Y₁=LI₀; Y₂=0, так как Y₂ соответствует тому моменту, когда ток в цепи обратится в нуль. Подставив выражения Y₁ и Y₂ в формулу (3), получим Q=Y₁/R, или

что совпадает с формулой (2). Для определения заряда, протекающего через обмотку соленоида, следует найти индуктивность L соленоида и сопротивление R обмотки соленоида, которые выражаются формулами

где m₀ — магнитная постоянная; N — число витков; l₁ — длина соленоида; S₁ — площадь сечения соленоида; r — удельное сопротивление провода; l—длина провода; S—площадь сечения провода; d—диаметр провода; d₁—диаметр соленоида.

Подставив найденные выражения L и R в формулу (2), получим

Заметим, что длина провода l может быть выражена через диаметр d₁ соленоида соотношением l=pd₁ N, где N — число витков, тогда формуле (4) можно придать вид

Но l₁/N есть диаметр провода, так как витки плотно прилегают друг к другу. Следовательно,

Произведя вычисления по формуле (5), получим

Q=363 мкКл.

Пример 3. На железный сердечник длиной l=20 см малого сечения (d<l) намотано N=200 витков. Определить магнитную проницаемость μ железа при силе тока I=0,4 А.

Решение. Магнитная проницаемость μ связана с магнитной индукцией В и напряженностью Н магнитного поля соотношением

B= μ₀μH. (1)

Эта формула не выражает линейной зависимости В от Н, так как μ является функцией Н. Поэтому для определения магнитной проницаемости обычно пользуются графиком зависимости В(Н) (см. рис. 24.1). Из формулы (1) выразим магнитную проницаемость:

μ =B/(μ₀H).

Напряженность Н магнитного поля вычислим по формуле (катушку с малым сечением можно принять за соленоид) Н=п1, где п — число витков, приходящихся на отрезок катушки длиной 1 м. Выразив в этой формуле п через число N витков катушки и ее длину l, получим

H=(N/l)I.

Подставив сюда значения N, l и I и произведя вычисления, найдем

H=400 А/м.

По графику находим, что напряженности Н=400 А/м соответствует магнитная индукция B=1,05 Тл. Подставив найденные значения В и Н, а также значение μ₀ в формулу (2), вычислим магнитную проницаемость:

μ=2,09 *10³.

Пример 1. Определить магнитную восприимчивость  и молярную восприимчивость _m висмута, если удельная магнитная восприимчивость _уд= -1,3*l0^-9 m³/kг.

Решение. Магнитная восприимчивость  определяется соотношением

=J/Н,

где J — намагниченность, Н — напряженность магнитного поля. Намагниченность J, в свою очередь, определяется следующей формулой:

J=| J |=

где — суммарный магнитный момент всех молекул в объеме V (магнетик предполагается однородным).

Соответственно

χ_m=J_m/H; J_m= /υ,

где υ — количество вещества (число молей данноговещества), и

χ _уд=J_уд/H; J_уд= /m,

где т — масса вещества.

1. Для определения удельной магнитной восприимчивости найдем отношение

χ/χ_уд=J/J_уд=m/V=ρ откуда

χ=ρχ_уд,

где ρ — плотность.

Убедимся, в том, что правая часть равенства, так же как и χ,— величина безразмерная (неименованная):

[ρ][χ_уд]=1 кг/м³*1м³/кг=1.

Произведем вычисления, выписав из табл. 9 плотность висмута (ρ=9,8*10³ кг/м³):

χ=9,8*10³*(-1,3*10^-9) -1,3*10^-5.

2. Для определения молярной магнитной восприимчивости найдем отношение

χ_m/χ_уд=J_m/J_уд=m/V=M.

где М — молярная масса.

Тогда

χ_m=Mχ_уд.

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу молярной магнитной восприимчивости (м³/моль):

[М] [χ_уд]=1 кг/моль*1 м^з/кг=

= 1 м³/моль.

Найдем сначала относительную молекулярную массу висмута: М_r=209. Так как относительная молекулярная масса численно равна молярной массе М, выраженной в г/моль, то M =209 г/моль=0,209 кг/моль, что соответствует выражению молярной массы в СИ.

Произведем вычисления:

χ_m=0,209*(-1,3.10^-9) -2,7*10^-10 м³/моль.

3.3.3. На стальном ненамагниченном кольце (торе), средний диаметр которого d=30 с и площадь поперечного сечения S=1,6 см², имеется обмотка, содержащая N=800 витков. Когда по обмотке пустили ток силой I=1,80 А, то баллистический гальванометр (индуктивно связанный с рассматриваемой цепью) дал отброс, соответствующий заряду, прошедшему через прибор, q=0,24 мКл. Зная, что сопротивление цепи гальванометра R=0,80 Ом, определить напряженность поля H и магнитную индукцию B внутри кольца, намагниченность кольца, а также магнитную проницаемость стали при данном токе в обмотке. Считать зависимость B от H для данного сорта стали неизвестной.

Решение. Когда по обмотке тороида пойдет ток, в стальном кольце возникнет магнитное поле, замкнутые линии индукции которого будут проходить вдоль кольца. Это поле будет результирующим двух полей: тока и теперь уже намагниченного материала кольца. Однако напряженность магнитного поля H внутри кольца зависит только от тока в обмотке тороида. Действительно, применив теорему о циркуляции вектора H, где в качестве контура интегрирования возьмем среднюю длину окружности кольца l=pd, и учитывая, что в силу соображений симметрии во всех точках этого контура должно быть

H=const, (1)

получим

Hl=NI,

Откуда

H=NI/l=NI/pd. (2)

Из формулы видно, что H зависит от d, а поэтому будет различной в различных точках одного и того же тороида, расположенных на различных расстояниях от центра. Однако, учитывая числовые значения величин d, S, видим, что относительное различие между наружным и внутренним диаметрами кольца мало, поэтому приближенно можно считать, что формула (2) выражает величину H для всех точек кольца.

Чтобы вычислить магнитную индукцию, воспользуемся простой в данном случае связью между величиной B и магнитным потоком Ф внутри тороида

Ф=BS. (3)

При включении тока магнитный поток в тороиде возрос от нуля до значения, равного Ф, что привело к появлению индукционного тока в контуре баллистического гальванометра, сцепленном с магнитным потоком. Заряд q, прошедший по этому контуру, определяется соотношением

q=– DФ/R,

откуда (опуская знак "-") имеем

DФ=Ф=qR. (4)

Из формул (3), (4) следует, что

B=qR/S. (5)

Теперь, зная величины B, H, легко ответить на остальные вопросы задачи. Из соотношений H=B /_o – J и B= _o H, с учетом (1), (4) получим:

J=B/₀ – H=qR/₀ – NI/pd; (6)

=B/_oH=qRpd/_oSNI. (7)

Выразив величины, входящие в полученные соотношения, в единицах системы СИ, подставив их в формулы (2), (5) – (7) и выполнив вычисление, получим:

H=1,510³ А/м; B=1,2 Тл; J=1,010⁶ А/м; =610².

Ответ: H=1,510³ А/м; B=1,2 Тл; J=1,010⁶ А/м; =610².

3.3.4. При выключении тока в обмотке тороида в цепи, предыдущей задачи, через баллистический гальванометр прошел заряд q'=80 мкКл. Используя условие предыдущей задачи, определить остаточную намагниченность J' стального кольца, а также остаточную индукцию и напряженность поля внутри кольца после исчезновения тока в обмотке.

Решение. Неизвестные величины будем находить в той же последовательности, что и в предыдущей задаче. Повторив приведенные там рассуждения, снова придем к соотношению (2). Но теперь I=0. Следовательно,

H=NI/pd=0.

Чтобы определить остаточную индукцию B' внутри кольца, воспользуемся уравнением для заряда q', перемещенного индукционным током по контуру баллистического гальванометра при выключении тока в обмотке:

q'=(Ф – Ф')/R=(BS – B'S)/R,

где Ф, Ф' – магнитный поток в кольце соответственно до и после исчезновения тока в обмотке тороида.

Тогда

B – B'=q'R/S.

Подставив сюда вместо B его значение по формуле (5) предыдущей задачи, получим

B'=(q – q')R/S. (1)

Наконец, из соотношения H=B /₀ – J, с учетом, что H=0, определим остаточную намагниченность кольца:

J'=B'/₀=(q – q')R/₀S. (2)

Подставив в формулы (1) и (2) числовые значения величин, выраженные в единицах СИ, и выполнив вычисление, найдем:

B=0,8 Тл; J'=610⁵ А/м.

Ответ: B=0,8 Тл; J'=610⁵ А/м.

Замечание. Решив задачу, мы получили парадоксальный результат: напряженность магнитного поля внутри намагниченного кольца равна нулю. Этот результат является следствием того, что напряженность магнитного поля в кольце пропорциональна силе тока в обмотке и не зависит от свойств материала кольца. Такой же результат получился бы, если вместо кольца взять длинный стержень, вставленный внутрь длинного соленоида. Однако на все остальные случаи этот результат не распространяется. Например, внутри намагниченного кольца с воздушным зазором H – 0 даже при отсутствии тока в обмотке.

3.3.5. Тороид с железным не намагниченным сердечником, длина которого по средней линии l₁=1,00 м, имеет воздушный зазор l₂=3,00 мм. По обмотке тороида, содержащей N=1300 витков, пустили ток, в результате чего индукция в зазоре стала B₂=1,00 Тл. Определить силу тока.

Решение. Поскольку в задаче идет речь о магнитной цепи, применим теорему о циркуляции вектора H, выбрав в качестве контура интегрирования среднюю линию тороида L. Эта задача отличается от предыдущих тем, что здесь из-за воздушного зазора условие H=const выполняется уже не для всех точек контура L. В этом можно убедиться, сравнив магнитные индукции в железе B₁ и воздухе B₂ и учитывая, что линии вектораB всегда замкнуты. Так как воздушный зазор в тороиде узкий, то рассеиванием линий индукции можно пренебречь. Следовательно, линии индукции будут проходить так же, как и в сплошном торе, который уже рассматривался. Поэтому через любое поперечное сечение тороида, в том числе и через сечение, взятое в воздушном зазоре, проходит один и тот же магнитный поток Ф. А так как и площадь любого сечения S одна и та же, то одинаковы и магнитные индукции в любой точке контура L:

B₁=B₂=B=1,00 Тл. (1)

Поскольку магнитная индукция в железе и воздушном зазоре одинакова, а магнитные проницаемости этих веществ разные, то напряженности магнитного поля в железе и зазоре различны. Поэтому, применив теорему о циркуляции вектора H к контуру L, запишем

H₁l₁+H₂l₂=NI, (2)

где H₁, H₂ – напряженности магнитного поля в железе и зазоре.

Так как для воздуха =1, то из выражения B=₀H имеем

H₂=B₂/₀=8,010⁵ А/м. (3)

Величину H₁ найдем по графику намагничивания, выражающему зависимость между величинами B, H в железе (этот график приводится в задачниках и справочниках по физике):

H₁=200 А/м.

Из уравнения (2) для силы тока получим:

I=(H₁l₁+H₂l₂)/N=2,0 А.

Замечание. Допустим, что имеется обратная задача, в которой дана сила тока I, но требуется определить магнитную индукцию в зазоре B₂ (или в железе B₁, что то же самое). Оказывается, такая задача решается несколько иным путем. Теперь, не зная ни одной из характеристик магнитного поля ни в воздушном зазоре, ни в железе, мы лишены возможности применить график намагничивания железа. Однако воспользуемся зависимостью

B₁=f(H₁), (4)

выражаемой этим графиком. Для этого надо уравнение (2) переписать с учетом соотношений (1), (3) так, чтобы оно также выражало зависимость между величинами B₁ и H₁

H₁l₁+B₁l₂/₀=NI. (5)

Если бы зависимость (4) была задана уравнением, достаточно было бы алгебраически решить систему уравнений (4), (5) относительно неизвестных B₁, H₁. Но зависимость (4) задана графиком. Следовательно, надо применить графический метод решения системы двух уравнений. На графике функции B₁==f(H₁) строят прямую (5). Координаты точки пересечения двух линий укажут искомые величины B₁, H₁.

Пример. 3. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной lо=5 мм. Длина l средней линии кольца равна 1 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I=4 А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,5 Тл? Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.

Решение. Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем

IN=Hl+H₀I₀.

По графику (см. рис. 24.1) находим, что при В=0,5 Тл напряженность Н магнитного поля в чугуне равна 1,2 кА/м. Так как для воздуха m=1, то напряженность поля в воздушном зазоре

H₀=Bm₀=0,4 MA/м.

Искомое число витков

N=(Hl+H₀ l_o)/I==800.

3.3.6. После выключения тока в обмотке тороида из предыдущей задачи остаточная индукция в зазоре стала B=4,2 мТл. Определить остаточную намагниченность J сердечника, а также напряженность H₁ поля в железе.

Решение. Было бы ошибкой воспользоваться для отыскания величины H₁ кривой намагниченности железа, как это было сделано в предыдущей задаче. Состояние железа, в котором оно рассматривается в данной задаче, возникло в результате неполного размагничивания железа. Однако вследствие явления магнитного гистерезиса кривые намагничивания и размагничивания железа не совпадают.

Единственно правильный путь решения задачи состоит в применении теоремы о циркуляции вектора H. Повторив рассуждения, принятые в предыдущей задаче, снова получим соотношения (1), (2). Но теперь I=0, поэтому

H₁l₁+H₂l₂=0. (1)

По прежнему величины H₂, B в воздушном зазоре связаны соотношением B==₀H, где =1. Тогда H=B/₀.

Подставив это значение H₂ в (1), получим напряженность магнитного поля в железе:

H₁=-H₂l₂/l₁=-Bl₂/(₀l₁). (2)

Знак "минус" в формуле показывает, что векторы H, B в намагниченном железе при отсутствии тока в обмотке направлены противоположно. Из соотношения

H=B /₀- J,

определим остаточную намагниченность железа:

J = B /₀- H₁,

или, учитывая противоположные направления векторов B, H₁, запишем в скалярном виде

J=B/₀+H₁.

Поставив вместо H₁ его абсолютное значение из формулы (2), найдем

. (3)

Подставив в формулы (2), (3) числовые значения величин, выраженные в единицах системы СИ, выполнив вычисление, получим:

H₁=-10 А/м; J=3,410³ А/м.

Ответ: H₁=-10 А/м; J=3,410³ А/м.

3.3.7. По обмотке тороида с не намагниченным железным сердечником пустили ток силой 0,60 А. Витки провода диаметром d=0,40 мм с весьма тонкой изоляцией плотно прилегают друг к другу. Определить индуктивность тороида при данных условиях, а также энергию магнитного поля в сердечнике, если площадь его сечения S=4,0 см2, а диаметр средней линии D=30,0 см.

Решение. Учитывая численные значения S, D, видим, что длина средней линии тороида значительно превышает диаметр его витков. Поэтому индуктивность можно рассчитать, рассматривая данный тороид как соленоид, согнутый в кольцо, следовательно, в этом случае оказывается справедливой соотношение

L=₀n²V.

Используя геометрические соотношения V=pDS, n=1/d, получим

L=₀pDS/d². (1)

Так как ₀=B/H, найдем величины H, B, характеризующие магнитное поле в сердечнике. Напряженность магнитного поля внутри тороида равна

H=(N/l)I==nI=I/d=1,510³ А/м. (2)

По кривой намагничивания железа находим магнитную индукцию в сердечнике B=1,35 Тл.

Теперь, поскольку величины B и H известны, запишем первый ответ на основании (1):

. (3)

Зная индуктивность тороида и силу тока в обмотке с учетом (3), (2) определим энергию магнитного поля

. (4)

Такой же результат можно получить воспользовавшись формулой связывающей энергию магнитного поля и объемную плотность энергии магнитного поля

W=w_oV=pDSBH/2.

Подставляя в формулы (3), (4) числовые значения всех величин, выраженные в единицах системы СИ, получим

L=2,1 Гн; W=0,4 Дж.

Ответ: L=2,1 Гн; W=0,4 Дж.

3.3.8. Плоский квадратный контур со стороной а=10 см, по которому течет ток I=100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (B=1 Тл). Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол ₁=90⁰. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Задачу можно решить двумя способами.

1) Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур

A=-IDФ=I(Ф₁-Ф₂),

где Ф₁ – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения;

Ф₂ – то же, после перемещения.

Если ₁=90⁰, то Ф₁=BS, Ф₂=0, S=a². Следовательно,

A=IBS=IBa². (1)

Подставляя в формулы (1), числовые значения всех величин, выраженные в единицах системы СИ, получим

A=1001(0,1)²=1 Дж.

2) Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле

W_p()=-p_mBcos.

Тогда работа внешних сил

A=DW_p=W₂-W₁, или A=p_mB(cos₁-cos₂).

Так как p_m=IS=Ia², cos₁=1 и cos₂=0, то

A=IBa², (2)

что совпадает с (1).

Ответ: А=1 Дж.

Пример 3. Молекула NO имеет магнитный момент M_l=1,8 μ_в. Определить удельную парамагнитную восприимчивость χ_уд газообразного оксида азота при нормальных условиях.

Решение. По теории Ланжевена, магнитная восприимчивость парамагнитного вещества определяется выражением

, (1)

где μ₀ — магнитная постоянная (μ₀=4π*10^-7 Гн/м); n — концентрация молекул (число молекул в единице объема); M_J—магнитный момент атома; k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура.

Удельная магнитная восприимчивость χ_уд связана с магнитной восприимчивостью χ соотношением

χ_уд=χ/ρ.

Заменив в этом выражении χ согласно (1), получим

.

Заметим, что концентрацию молекул и плотность газа можно выразить следующим образом:

n=N_A/V_m и ρ=M/V_m

где N_A — постоянная Авогадро; М — молярная масса; V_m — молярный объем.

Тогда n/p= N_A/M и

.

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу удельной магнитной восприимчивости (м³/кг):

.

Произведем вычисления (учтем, что 1 μ_в=9,27*Ю^-24 А*м² и M=30*10^-3 кг/моль):

.

Пример 1. Виток, по которому течет ток I=20 А, свободно установится в однородном магнитном поле В=16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно повернуть виток на угол a=p/2 относительно оси, совпадающей с диаметром?

Решение. При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре

неизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выражением

где Ф₁ и Ф₂ — магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и противоположна ей по знаку, т. е.

(1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (положение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действу ющий на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного момента p_m контура сонаправлен с вектором В (рис. 25.1, а) и магнитный поток Ф₁ максимален (a=0, cos a=1), т. е. Ф₁=ВS (где S — площадь контура). В конечном положении (рис. 25.1, б) вектор p_m перпендикулярен вектору B (a=p/2, cos a=0) и магнитный поток Ф₂=0. Перепишем выражение (1) с учетом сделанных замечаний:

Так как площадь контура S=pd²/4. то работа

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу работы (Дж):

Произведем вычисления:

Пример 5. Плоский квадратный контур со стороной длиной а = 10 см, по которому течет ток I= 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле индукцией В=1 Тл. Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол φ= З⁰. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. На контур с током в магнитном поле действует механический момент

(1)

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю

(М=0), а значит φ=0, т. е. векторы р_m и В совпадают по направлению.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла φ поворота), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме

dA=Mdj (2)

Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что р_т= IS=Ia², где I — сила тока в контуре, S=a² — площадь контура, получим

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

(3)

Работа при повороте на угол ф₂=3°. В этом случае, учитывая, что угол ф₂ мал, заменим в выражении (3) sin φ на φ:

(5)

Выразим угол φ₂ в радианах (см. табл. 9)

Φ₂=3⁰=3·l,75·10^-2 рад=0,0525 рад.

После подстановки значений I, В, а и φ₂ в формулу (5) получим А₂=1,37 мДж.

3.3.9. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N==1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I=4 А магнитный поток Ф=6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию магнитного поля соленоида.

Решение. Индуктивность L связана с потокосцеплением J и силой тока I соотношением

J=LI. (1)

Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу)

J=NФ. (2)

Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида

L=NФ/I. (3)

Энергия магнитного поля соленоида

W=LI²/2.

Выразив L согласно (3), получим

W=NФI/2. (4)

Подставляя в формулы (3), (4) числовые значения всех величин, выраженные в единицах системы СИ, имеем

L=1,210³610^-6/4=1,810^-3 Гн;

W=1,210³610^-64/2=1,4410^-2 Дж.

Ответ: L=1,810^-3 Гн=1,8 мГн; W=1,4410^-2 Дж =14,4 мДж.

Явление электромагнитной индукции. Основной закон электромагнитной индукции. Правило (закон) Ленца. Самоиндукция. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии магнитного поля.