Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек соответственное массами

Статическим моментом S_Х системы материальных точек относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох):

Аналогично определяется статистический момент этой системы относительно оси Oy:

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статического момента понадобится интегрирование.

Пусть у =f(х) (a ≤ х ≤ b) — это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью ( =const).

Для произвольного на кривой АВ найдется точка с координатами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содержащий точку (х;у). Тогда масса этого участка равна . Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента (“элементарный момент”) будет находиться по формуле:

Отсюда следует, что статический момент кривой АВ относительно оси Ох равен

Аналогично находим :

Статические моменты S_Х и S_У кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).

Центром тяжести материальной плоской кривой х в называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой у = f(х) относительно той же оси. Обозначим через С(х_с;у_с) центр тяжести кривой АВ.

Из определения центра тяжести следуют равенства и или и . Отсюда,

или

Date: 2015-09-18; view: 514; Нарушение авторских прав