Решение уравнений однородной линии

(установившийся синусоидальный режим)

Допустим, что ток и напряжение изменяются с частотой . Запишем уравнение линии, используя комплексный метод

, (7.3)

, (7.4)

т.к. напряжение и ток зависят только от координаты , = f (x), вместо частных производных запишем полные.

Дифференцируем (7.3) по x и используем (7.4)

,

где .

Решение имеет вид

. (7.5)

Из (7.3)

,

где ,

- коэффициент распределения линии, Z – волновое или характеристическое сопротивление линии, - коэффициент затухания (), - коэффициент фазы ().

Будем обозначать величины тока и напряжения в начале линии (x = 0) с индексом «1», а в конце линии (x = ) – c индексом «2».

Найдем и в уравнении (7.5), для этого рассмотрим начало линии.

При x = 0 и , отсюда получим

и .

Следовательно

,

. (7.6)

или (с учетом тригонометрических функций)

,

.

Значение и (конец линии) получается, если положить x = .

,

.

Из этих уравнений выразим и через и

,

.

Последние два уравнения - уравнения четырехполюсника в А – параметрах.

Постоянные этого четырехполюсника равны

; ; , причем

.

Как и любой четырехполюсник, линия может быть представлена Т или П-образной эквивалентной схемой.

Представлять линию Т или П-образной эквивалентной схемой целесообразно, если нас интересуют только ток и напряжение на входе и выходе линии. Если необходимо знать распределение тока и напряжения вдоль линии, то ее эквивалентируют цепной схемой. Чем больше звеньев, тем точнее решение (обычно берут 10 – 20 звеньев).

7.4. Бегущие волны

Рассмотрим уравнения (7.6) и введем обозначения

,

.

При имеем

.

Перейдем к оригиналам

.

Видно, что u равно сумме двух составляющих и .

при x = const – синусоидальная функция времени.

Пусть , тогда, если t = const, распределено вдоль линии по синусоидальному закону с длиной волны (рис.).

Говорят, что волна напряжения движется вдоль линии от начала к концу с постоянной скоростью . Т.к. при этом фаза колебания остается неизменной, называется фазовой скоростью.

Такого рода волны называются бегущими волнами. При наличие множителя показывает, что амплитуда волны по мере движения затухает по показательному закону ( - коэффициент затухания). Т.к. фаза напряжения изменяется с изменением x, то коэффициент , характеризующий это изменение, называется коэффициентом фазы.

По аналогии можно показать, что представляет собой волну длины , бегущую вдоль линии со скоростью , т.е. от конца к её началу. Амплитуда этой волны затухает по показательному закону по мере продвижения от конца к началу.

Волна называется прямой волной.

Волна называется обратной волной.

Аналогично можем записать для

, где

или для мгновенных значений , где - прямая волна, - обратная волна

Найдём

; . (7.7)

Физически объяснить появление обратных волн можно отражением прямых волн от конца линии. Поэтому прямые волны также называются падающими, а обратные – отражёнными. Их отношение называют коэффициентом отражения:

а) коэффициент отражения напряжения от конца линии:

,

б) коэффициент отражения тока от конца линии

.

Предположим, что линия с волновым сопротивлением замкнута на приёмник сопротивлением .

На конце линии имеем

; .

отсюда

;

;

где .

Разделив первое равенство на второе (7.7), получим , т.е.

.

Рассмотрим частные случаи.

1) Если ; (отражённых волн нет), поэтому .

2) Если и , следовательно:

а) , т.е. напряжение на конце линии удваивается по сравнению с падающей волной,

б) ток в конце линии равен нулю.

3) и .

и , и .