Быстрый перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную

Примеры:

· Переведем число 2 из десятичной системы. 2=2¹. Поэтому в двоичной системе число содержит 1 нуль. Впереди ставим "1" и получаем 10₂.

· Переведем 4 из десятичной системы. 4=2². Поэтому в двоичной системе число содержит 2 нуля. Впереди ставим "1" и получаем 100_2.

· Переведем 8 из десятичной системы. 8=2³. Поэтому в двоичной системе число содержит 3 нуля. Впереди ставим "1" и получаем 1000_2.

На рисунке квадратиками обозначено двоичное представление числа, а слева розовым цветом-десятичное.

Аналогично и для других чисел "2 в степени".

Если число, которое нужно перевести, меньше числа "2 в степени" на 1, то в двоичной системе это число состоит только из единиц, количество которых равно степени.

· Переведем 3 из десятичной системы. 3=2²-1. Поэтому в двоичной системе число содержит 2 единицы. Получаем 11_2.

· Переведем 7 из десятичной системы. 7=2³-1. Поэтому в двоичной системе число содержит 3 единицы. Получаем 111_2.

На рисунке квадратиками обозначено двоичное представление числа, а слева розовым цветом-десятичное.

Аналогичен перевод и для других чисел "2 в степени-1".

Понятно, что перевод чисел от 0 до 8 можно сделать быстро или делением, или просто знать наизусть их представление в двоичной системе. Я привела эти примеры, чтобы Вы поняли принцип данного метода и использовали его для перевода более "внушительных чисел", например, для перевода чисел 127,128, 255, 256, 511, 512 и т.д.

Можно встретить такие задачи, когда нужно перевести число, не равное числу "2 в степени", но близкое к нему. Оно может быть больше или меньше числа "2 в степени". Разница между переводимым числом и числом "2 в степени" должна быть небольшая. Например, до 3. Представление чисел от 0 до 3 в двоичной системе надо просто знать без перевода.

Если число больше, то решаем так:

Переводим сначала число "2 в степени" в двоичную систему. А потом прибавляем к нему разницу между числом "2 в степени" и переводимым числом.

Например, переведем 19 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени" на 3.

19=16+3.

16=2⁴. 16₁₀=10000₂.

3₁₀=11₂.

19₁₀=10000₂+11₂=10011₂.

Если число меньше числа "2 в степени", то удобнее пользоваться числом "2 в степени-1". Решаем так:

Переводим сначала число "2 в степени-1" в двоичную систему. А потом вычитаем из него разницу между числом "2 в степени-1" и переводимым числом.

Например, переведем 29 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени-1" на 2. 29=31-2.

31₁₀=11111₂.

2₁₀=10₂.

29₁₀=11111₂-10₂=11101₂

Если разница между переводимым числом и числом "2 в степени" больше трех, то можно разбить число на составляющие, перевести каждую часть в двоичную систему и сложить.

Например, перевести число 528 из десятичной системы. 528=512+16. Переводим отдельно 512 и 16.
512=2⁹ . 512₁₀=1000000000₂.
16=2⁴. 16₁₀=10000₂.
Теперь сложим столбиком:

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

n (степень)

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

Билет 22

1. Оценка производительности идеального конвейера

Выполнение каждой команды складывается из ряда последовательных этапов (шагов, стадий), суть которых не меняется от команды к команде. С целью увеличения быстродействия процессора и максимального использования всех его возможностей в современных микропроцессорах используется конвейерный принцип обработки информации. Этот принцип подразумевает, что в каждый момент времени процессор работает над различными стадиями выполнения нескольких команд, причем на выполнение каждой стадии выделяются отдельные аппаратные ресурсы. По очередному тактовому импульсу каждая команда в конвейере продвигается на следующую стадию обработки, выполненная команда покидает конвейер, а новая поступает в него.

В различных процессорах количество и суть этапов различаются. Рассмотрим принципы конвейерной обработки информации на примере пятиступенчатого конвейера, в котором выполнение команды складывается из следующих этапов:

1. IF (Instruction Fetch) - считывание команды в процессор;

2. ID (Instruction Decoding) - декодирование команды;

3. OR (Operand Reading) - считывание операндов;

4. EX (Executing) - выполнение команды;

5. WB (Write Back) - запись результата.

Выполнение команд в таком конвейере представлено в табл. 11.1.

Так как в каждом такте могут выполняться различные стадии обработки команд, то длительность такта выбирается исходя из максимального времени выполнения всех стадий. Кроме того, следует учитывать, что для передачи команды с одной стадии на другую требуется определенное дополнительное время ( t), связанное с записью промежуточных результатов обработки в буферные регистры.

Пусть для выполнения отдельных стадий обработки требуются следующие затраты времени (в некоторых условных единицах):

T_IF = 20, T_ID = 15, T_OR = 20, T_EX = 25, T_WB = 20.

Тогда, предполагая, что дополнительные расходы времени составляют dt = 5 единиц, получим время такта:

.

Оценим время выполнения одной команды и некоторой группы команд при последовательной и конвейерной обработке.

При последовательной обработке время выполнения N команд составит:

Tпосл = N*(T_IF + T_ID + T_OR + T_EX + T_WB) = 100N.

Анализ табл. 11.1 показывает, что при конвейерной обработке после того, как получен результат выполнения первой команды, результат очередной команды появляется в следующем такте работы процессора. Следовательно,

T_конв = 5T + (N-1) * T.

Примеры длительности выполнения некоторого количества команд при последовательной и конвейерной обработке приведены в табл. 11.2.

Очевидно, что при достаточно длительной работе конвейера его быстродействие будет существенно превышать быстродействие, достигаемое при последовательной обработке команд. Это увеличение будет тем больше, чем меньше длительность такта конвейера и чем больше количество выполненных команд. Сокращение длительности такта достигается, в частности, разбиением выполнения команды на большое число этапов, каждый из которых включает в себя относительно простые операции и поэтому может выполняться за короткий промежуток времени. Так, если в микропроцессоре Pentium длина конвейера составляла 5 ступеней (при максимальной тактовой частоте 200 МГц), то в Pentium-4 - уже 20 ступеней (при максимальной тактовой частоте на сегодняшний день 3,4 ГГц).