Тенденция принимать желаемое за действительное 5 page

Попробуем решить другую задачу, в которой поиск пути решения задачи также должен сопровождаться графическим представлением.

Мелвин, Брок, Марк и Клэр, чтобы сэкономить деньги и сохранить душевное спокойствие, решили организовать кооператив по присмотру за детьми. Они договорились сидеть с детьми друг друга на следующих условиях: если один из них остается с чьими-то детьми, то последний должен «заплатить» за это таким же количеством часов присмотра за чужими детьми. Подсчитывать баланс времени, которое каждый из них проработал «приходящей нянькой», они решили в конце месяца. Оказалось, что в течение месяца Мелвин сидел с детьми Брока 9 часов, Марк сидел с детьми Мелвина 3 часа, а Клэр оставалась с детьми Мелвина 6 часов. Марк 9 часов нянчился с детьми Клэр, и Брок 5 часов следил за ее детьми. Кто кому должен 12 часов отработки?

Очевидно, что хорошая схема, отражающая связи между этими людьми, просто необходима. Соответствующие данные помогут связать этих четверых с количеством часов, которые они должны друг другу. Начнем с первого предложения: «Мелвин сидел с детьми Брока 9 часов». Таким образом, Брок должен Мелвину в конце месяца 9 часов. При этом используется операция перевода количества часов, затраченных на присмотр за ребенком, в количество часов, «полученных» каждой «нянькой». Простейшая схема этого процесса имеет вид:

Следующая фраза трансформируется так: «Мелвин должен 3 часа Марку и 6 часов Клэр».

Затем, преобразовав третью фразу, мы получим: «Клэр должна Марку 9 часов и Броку5 часов».

Рис. 9.7. Альтернативная форма представления задачи кооператива по уходу за детьми

Легко видеть из построенной схемы, что только Марку должны быть возвращены 12 часов присмотра за детьми - 3 часа от Мелвина и 9 часов от Клэр. Эта схема является необходимой частью решения поставленной задачи.

Существует несколько других способов представления информации в задаче о кооперативе по присмотру за детьми, которые отражают все существующие связи и таким образом позволяют получить правильный ответ. Когда моя коллега (д-р Сюзанна Намедэл из Калифорнийского государственного университета, Лонг-Бич) поставила эту задачу перед своими студентами, она обнаружила, что они в ходе поиска решения изобрели самые разные формы ее наглядного представления. Один из студентов использовал простейшую диаграмму, изображающую количество часов, затраченных каждым из участников. Представление условий задачи в такой форме приведено на рис. 9.7.

Некоторые студенты воспользовались различного рода таблицами. Кое-кто из них выписывал количество «отработанных» часов со знаком плюс, а число «одолженных» часов - со знаком минус Другой студент разделил исходную информацию на категории «работа няней» и «вызов няни», затем заполнил таблицу информацией, просуммировал по колонкам общее количество часов, которое каждый из членов кооператива «просидел нянькой», а по строкам таблицы просуммировал общее количество часов, в течение которых каждый из них вынужден был прибегать к услугам приходящей няни. Эти формы представления условия задачи приведены в табл. 9.1 и 9.2.

Таблица 9 1. Использование таблицы для наглядного представления информации в задаче о кооперативе по присмотру за детьми

Таблица 9.2. Альтернативный вариант использования таблицы для наглядного представления информации в задаче о кооперативе по присмотру за детьми

Задача о кооперативе по уходу за детьми продемонстрировала, что существует несколько способов представления исходной информации. Попробуйте сами предложить различные наглядные представления задач, которые встретятся вам в этой главе. Правильное представление задачи содержит всю существенную информацию, которая представлена так, что может быть легко понята и усвоена. Кроме того, правильное представление подсказывает путь к решению задачи.

Попытайтесь построить иерархическое дерево

Иерархические деревья - это тип разветвленных диаграмм. Наиболее часто они применяются, когда надо математически оценить вероятность случайных исходов. (См. главу 4 об использовании древовидных диаграмм в решении задач типа «если… то…» и главу 7 об использовании дерева решений в расчетах вероятностей.) Иерархические деревья или древовидные диаграммы могут оказаться полезными при решении задач и принятии решений. В таком контексте они называются деревом решений. (Как отмечалось ранее в этой главе, различие между решением задачи и принятием решения несколько искусственно, поскольку они тесно взаимосвязаны.)

Если задача, над которой вы работаете, слишком сложна и каждый возможный путь решения разветвляется на дополнительные пути, то следует обратиться к помощи иерархического дерева, или древовидной диаграммы.

Вот, например, классическая задача, впервые предложенная Дункером (Dun-cker, 1945). Хотя предлагаемая в ней проблема является медицинской, никаких специальных знаний для ее решения не потребуется.

У пациента неоперабельная опухоль в желудке Задача состоит в том, чтобы придумать способ избавления от этой опухоли с помощью рентгеновских лучей, при котором не будут повреждены здоровые ткани, окружающие опухоль со всех сторон

Остановитесь на несколько минут и подумайте, какой путь вы выбрали бы для решения этой задачи.

Большинство людей, занятых решением задачи Дункера (Duncker, 1945), продвигались к цели в несколько этапов. Хотя были опробованы различные решения, лучшим из них оказалось применение нескольких слабых лучей, каждый из которых проникал в тело снаружи со своей, отличной от других позиции - при этом все лучи фокусировались и собирались воедино в месте расположения опухоли. Таким образом, лучи слабой интенсивности не наносят вреда здоровым тканям, а опухоль при этом подвергается интенсивному лучевому воздействию. Такой подход пришел в голову после перебора различных способов решений, которые подразумевали резкий рост интенсивности лучей в районе расположения опухоли.

Одна из предпринятых попыток поиска путей решения задачи с помощью иерархического дерева проиллюстрирована на рис. 9.8. Заметьте, что цель обязательно располагается в вершине дерева. Общие стратегии перечисляются одним уровнем ниже цели, наиболее характерные пути, определяющие каждую стратегию, - еще одним уровнем ниже.

В частности, древовидные диаграммы оказываются весьма полезными, если исходная информация сама по себе имеет иерархическую структуру. Например, классификация всех живых организмов выстроена биологами в иерархическую схему. Если вы спросите ребенка, является ли пчела животным, он, вероятно ответит: «Нет, поскольку это насекомое». Этот вопрос можно ему разъяснить, если нарисовать биологическое классификационное дерево, пример которого приведен на рис. 9.9.

Другой пример использования древовидных диаграмм для решения задач - это применение хорошо известного генеалогического дерева. Занимающиеся вопросами недвижимости юристы, которые часто сталкиваются с запутанным клубком родственных связей, должны уметь определять степень родства всех членов семьи, чтобы контролировать выполнение условий завещаний и уплату налогов на имущество.

Рис. 9.8. Диаграмма в виде иерархического дерева, иллюстрирующая одну из попыток решения сформулированной Дункером задачи рентгеновского облучения (Duncker, 1945).

Рис. 9.9. Диаграмма в виде иерархического дерева, которая поможет ответить на вопрос:

«Являются ли пчелы животными?»

Многочисленные отчимы и мачехи, сожители, пасынки, падчерицы, сводные братья и сестры, незаконнорожденные дети могут превратить сложный вопрос наследства в сущий правовой кошмар. Аккуратное построение генеалогического дерева, которое разместит каждого родственника на соответствующей ветке, является просто бесценным средством решения запутанных задач наследования.

Постройте матрицу

Матрица - это расположение фактов или чисел в прямоугольном порядке. На самом деле это просто более замысловатое слово для таблицы. Когда исходные данные в задаче могут быть разбиты на отдельные категории, матрица может оказаться удобным способом для их представления. Рассмотрим задачу, сформулированную Уимби и Лоххедом (Whimbey amp; Lochhead, 1982):

Трое молодых людей - Фред, Эд и Тед - женились на Джоан, Салли и Викки (не обязательно в таком порядке). Джоан, будучи сестрой Эда, живет в Детройте. Фред не любит животных. Эд весит больше, чем муж Викки. А у мужа Салли есть хобби: разводить сиамских котов. Фред тратит на регулярные поездки от своего дома в Энн-Эрбор до работы в Детройте свыше 200 часов в год. Определите, кто на ком женат (р. 67).

Каков тип исходных данных в этой задаче? Данные касаются мужей и жен. Постройте матрицу 3 х 3 и заполните ее, насколько возможно, в соответствии с полученной информацией:

Поскольку Джоан является сестрой Эда, она не может быть его женой, поэтому впишите «НЕТ» в ячейку матрицы Джоан-Эд. Пропустите на время следующие два предложения и остановитесь на фразе, что Эд весит больше мужа Викки. Это значит, что Эд не является мужем Викки. Эд должен быть женат на Салли. Матрица принимает вид:

Перечитайте задачу и попробуйте найти еще ключи к решению. Нашли что-нибудь важное? Фред живет в Энн-Эрбор, а Джоан живет в Детройте; следовательно, можно предположить, что они не являются мужем и женой. Поскольку Фред не женат на Джоан и Салли, он должен быть мужем Викки. Кто же остается для Теда? Женой Теда должна быть Джоан.

Заполненная матрица выглядит так:

Возьмем еще один пример. Эта задача взята из прекрасной книги Филлипса (Phillips, 1961) под названием «Мои любимые загадки и головоломки». Наверное, она вам покажется проще, так как вы уже познакомились с техникой решения:

«Все мои четыре внучки - высокообразованные девушки», - заявил Кен Чезабл с явным удовольствием. «Каждая из них, - продолжил он, - играет на каком-нибудь музыкальном инструменте и говорит на одном из европейских языков, причем так же хорошо, если не лучше, как человек, для которого этот язык родной».

«На чем играет Мэри?» - спросил кто-то.

«На виолончели».

«А кто играет на скрипке?»

«Понимаете, - сказал Чезабл, - я постоянно забываю. О Господи, увы! Но я знаю, что это как раз та, которая говорит по-французски».

Кроме этого, мне удалось выудить из Кена только отрицания. Я узнал, что девушку, которая играет на органе, зовут не Валерия; ту, которая говорит по-немецки, зовут не Лорна; и что Мэри не знает итальянского. Антея не играет на скрипке и не говорит по-испански. Валерия не знает французского; Лорна не играет на арфе, а та, что играет на органе, не говорит по-итальянски.

На чем играет и какой язык знает Валерия?

Теперь остановитесь и поразмышляйте над этой задачей. Не продолжайте, пока действительно не продумаете ее.

Вам следует начать с осознания того, что исходная информация делится на категории, вследствие чего самым удобным представлением условий задачи будет матрица. Имеются четыре внучки, четыре музыкальных инструмента и четыре языка. Можно построить такую матрицу:

Поскольку большая часть информации дана в форме отрицания, давайте перечислим возможные комбинации внучек-инструментов-языков.

Так как девушка, которая играет на скрипке, говорит по-французски, она должна быть Лорной. Антея играет на органе и говорит по-немецки. Это означает, что только Мэри может говорить по-испански. А для Валерии остается единственная комбинация - арфа и итальянский.

Естественно, это искусственные задачи, непохожие на те, с которыми нам приходится сталкиваться в жизни. Давайте рассмотрим более практическое применение матричной формы представления задачи.

Существуют значительные разногласия во мнениях относительно применения витамина С как средства, сдерживающего распространение простуды Как бы вы решили этот вопрос: предотвращает или нет витамин С простуду? Вероятнее всего, вы бы дали витамин С некоторым людям и не дали бы другим, а затем подсчитали бы количество заболевших простудным заболеванием в каждой группе. Предположим, вы получили следующие результаты. 10 человек принимали витамин С и не заболели, 4 человека принимали витамин С и все-таки простудились, 8 человек, не принимавших витамин С, не заболели, а 6 человек, которые не принимали его, заболели. Какой вывод вы сделаете?

Поскольку исходная информация может быть разбита на категории (принимали или не принимали витамин С, простудились или нет), матрица, содержащая соответствующие значения, поможет нам правильно представить данные:

Изучая каждую ячейку матрицы, вы можете установить, предотвращает ли витамин С простуду. Чтобы оценить действие витамина, вам нужно посмотреть, сколько человек из числа простудившихся принимали его. Их число составляет 4 из 10, или 40%. А теперь оцените количество людей, не заболевших и принимавших витамин С. Как можно заметить, их 8 из 18; т.е. 55,5%. Из этого факта можно сделать вывод, что витамин С помогает предотвратить простуду. (Принципы исследований более подробно рассматриваются в главах 6 и 7.) Целью этого примера было показать, что матричное представление условий задачи облегчает поиски ответа. По существу, это та же задача, что была рассмотрена в главе 8, когда врачи и медсестры должны были решить, существует ли связь между заболеванием и целым комплексом симптомов. Темы различных глав пересекаются, и вы должны представлять, что приемы, которые использовались в одной ситуации, могут также применяться в других, связанных с ней ситуациях

Используйте модели

Часто бывает удобно представить абстрактную задачу в конкретной форме. Я уверена, что вы видели когда-нибудь макеты планируемых архитектурных построек - таких, как торговый центр, офисы, студенческий городок. Макеты небольших строений и тротуаров не делаются - архитекторы любят грандиозные постройки. Часто такие макеты строятся для согласования планов будущего строительства с другими специалистами, которые не умеют читать чертежи, и в этом случае небольшие модели помогают решить задачу. Составленный из заменяемых деталей макет позволяет архитектору варьировать конструкцию и искать наилучший вариант расположения частей.

Давайте возьмем задачу, найти решение которой поможет создание модели. На мифической планете отдаленной галактики обитают два вида разумных существ - хоббиты и орки. Однажды три хоббита, увлекшись исследованием страны орков, потерялись. Хоббиты могли бы спокойно вернуться домой, если бы сумели перебраться через реку, отделяющую их страну от страны орков. Три орка согласились помочь хоббитам переправиться через реку, но единственная имеющаяся у них лодка могла выдержать только двоих - чего хоббиты никак не могли допустить, так как, обладая численным превосходством, орки могли в любой момент съесть их.

Ваша задача состоит в том, чтобы установить последовательность переправ, которая позволит трем хоббитам перебраться на другой берег реки, а трем оркам - вернуться на свой родной берег. Ограничением в этой задаче является то, что в лодке одновременно могут находиться только двое. К тому же если в какой-то момент времени число орков на берегу будет превышать число хоббитов, то вы должны будете отказаться от этого варианта и начать сначала.

Без наглядной формы представления этой задачи она кажется неразрешимой. Воспользуйтесь любыми маленькими предметами, которые будут заменять вам орков и хоббитов, и перемещайте их через воображаемую реку. Подойдут, например, три больших кусочка бумаги в качестве хоббитов, а три маленьких - в качестве орков. Вам надо будет представить, что вы перемещаете инопланетян в лодке. Не забывайте записывать все ваши ходы. Постарайтесь найти решение этой задачи в течение 10-15 минут. Занимаясь поиском решения, продумывайте каждый шаг. Не-продолжайте чтения, пока не решите эту задачу.

Последовательность всех необходимых действий для переправы хоббитов приведена на рис. 9.10. Одна из наибольших сложностей этой задачи заключается в необходимости переправить всех трех орков через реку - действия, которые сами по себе нежелательны, но которых нельзя избежать, чтобы не допустить численного превосходства орков над хоббитами. Задачи такого типа называют задачами с обходным маневром, поскольку пути их решения не прямолинейны. Нужны промежуточные шаги, которые, на первый взгляд, даже уводят от цели - в данном случае это переправа всех трех орков на противоположный берег реки, в то время как конечной целью, поставленной в задаче, является нахождение орков на их родном берегу. Очень важно осознать, что путь к намеченной цели может оказаться обходным. В качестве более приближенного к жизни примера рассмотрим стремление Леона стать очень обеспеченным человеком. Один из путей достижения этой цели - влезть в долги, чтобы оплатить образование. Хотя одалживание крупной суммы денег, на первый взгляд, уводит от намеченной цели разбогатеть, оно может оказаться необходимым обходным маневром для ее достижения. Когда вы столкнетесь со сложной задачей, будьте готовы рассмотреть и обходные пути ее решения.

Рис. 9.10. Последовательность переправы трех хоббитов через реку на лодке, которая одновременно может выдержать только двоих. При этом количество орков никогда не превышает количество хоббитов.

Выберите лучшее представление

Использовать наглядные формы представления задачи (например, с помощью карандаша и бумаги) полезно в любом случае, когда у вас есть данные, которыми нужно оперировать. Ваша кратковременная память может быстро переполниться. Если вы уже прочитали главу 8, то должны осознавать, насколько важно снижение нагрузки на кратковременную память. Один из способов сделать это - выписывать возможные варианты путей решения и затем поочередно рассматривать их. Практически все данные, выраженные в числах - включая полученные в ходе эксперимента результаты, - следует всегда изображать графически. Если задача математическая или пространственная, то, вероятно, будет полезно применение диаграмм. Диаграмма сможет помочь распутать ситуацию, когда исходные данные взаимозависимы. Кроме того, диаграммы могут выделить некоторые важные отношения, которые нередко приводят непосредственно к цели. Иерархические деревья являются естественной формой представления задач, когда материал сам по себе образует иерархическую структуру. Матрицы чаще всего удобны, когда исходные данные могут быть разбиты на категории для последующего анализа. Модели хороши при представлении задач, решение которых определяет перемещение или передвижение данных. Часто именно выбор наглядного представления задачи является главным моментом, и от него зависит возможность решения задачи (Posner, 1973). Если вы обнаружите, что один из видов наглядного представления не помогает, попробуйте другой.