Правила дифференцирования (доказательство одного из них)

1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций.

Убедимся в этом для сум­мы двух функций (для большего числа слагаемых доказательство аналогич­ное).

Пусть ; но тогда . Деля на , имеем .

Отсюда, переходя к пределу при , находим (так как предел сум­мы равен сумме пределов):

или (4.13).

2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. .Следствие1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .Следствие2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например: .3. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: .