Пояснение к заданию №2

Для выполнения эксперимента требуются два стальных шарика с равными радиусами r и массами m. Эти параметры шариков указаны отдельно. В опыте один шарик устанавливается на середине механического лотка. Второй шарик вначале устанавливается в верхней точке и затем отпускается и катится вниз по жёлобу до столкновения с первым шариком.

Столкновение в данном случае является центральным, т. к. вектор скорости набегающего шарика расположен (при ударе) на линии, соединяющей центры шариков. При этом столкновение можно считать упругим, т. к. в опыте используются шарики, предназначенные для подшипников качения (потерями энергии при столкновении таких шариков в данном опыте можно пренебречь).

Напомним, что при поступательном движении свободно летящих шаров для расчётов упругих столкновений используются законы сохранения импульса и механической энергии. Как известно, эти расчёты показывают, что при центральном столкновении шаров с равными массами происходит обмен импульсом таким образом, что при ударе летящего шара по неподвижному – движущийся шар полностью теряет свою скорость (останавливается), а другой – получает скорость, равную скорости шара, движущегося до столкновения.

Однако столкновения катящихся шаров происходят иначе. Это объясняется тем, что тела при качении вращаются, и, следовательно, действуют законы сохранения и изменения момента импульса (разумеется, совместно с такими же законами для импульса и энергии).

В опыте, который проводится на установке "Механический лоток", при столкновении шариков наблюдается следующее явление. После удара скатившегося вниз шарика по неподвижному – оба шарика затем начинают катиться в одном направлении, но с разными скоростями. Первый (вначале неподвижный) шарик получает более высокую начальную скорость и катится вверх по жёлобу до остановки на расстоянии, превышающем половину расстояния от нижней до верхней точки жёлоба. Второй шарик после столкновения некоторое время (этот интервал хотя и небольшой, но заметен без специальных приборов) остается на месте, а затем вдруг начинает катиться вслед первому. Начальная скорость движения второго шарика меньше, и он катится вверх по жёлобу, проходя до остановки более короткое расстояние, чем первый шарик.

Примечание. Студентам, интересующимся физикой и механикой, предлагается самостоятельно описать физический механизм наблюдаемого явления. Решить соответствующую систему уравнений динамики и доказать, что при центральном упругом столкновении нормально катящегося шара со скоростью центра масс V_0c – с неподвижным шаром (радиусы и массы шаров равные) получается следующий результат:

а) первый (ранее неподвижный) шар начинает нормально катиться со скоростью центра масс V_1c = 5/7 V_0c, (учесть, что нормальное качение начинается не сразу после удара при столкновении);

б) второй шар (имевший перед столкновением скорость центра масс V_0c) начинает нормально катиться вслед за первым со скоростью центра масс V_2c = 2/7 V_0c (учесть, что нормальное качение начинается не сразу после удара при столкновении).

Расчёты выполнять для столкновения на горизонтальной поверхности, т. к. удар по неподвижному шару в проводимом опыте происходит на горизонтали – в нижней части механического лотка. Объяснить причину уменьшения суммарной кинетической энергии шаров после столкновения по сравнению с кинетической энергией до столкновения.

Первая цель эксперимента в задании №2 состоит в сравнении начальной кинетической энергии нормального качения шариков после столкновения с потенциальной энергией шариков в моменты остановок после качения вверх по жёлобу.

Считаем известным, что угловые скорости шариков в начале нормального качения после столкновения определяются выражениями:

(20)

Здесь: ω₀₁ – угловая скорость первого шарика (покоящегося до столкновения);

ω₀₂ – угловая скорость второго шарика, имевшего до столкновения скорость ω₀.

Формулы (20) верны только для центрального упругого столкновения шаров с равными радиусами и массами.

Угловая скорость ω₀ определяется в опыте с помощью уравнения энергетического баланса:

, (21)

где: h₀ – высота подъёма центра масс второго шарика в момент пуска;

– кинетическая энергия второго шарика в момент времени перед столкновением;

E_s – потери энергии при качении, которые можно рассчитать приближённо по формуле: (здесь: l_c – длина пути центра масс от точки пуска до точки столкновения; δ – коэффициент сопротивления качению, найденный в Задании №1; α – угол наклона плоскости качения).

Напомним, что потери энергии можно вычислять более точно, разделяя движение шарика на качение по поверхности с постоянным углом наклона α и по дуге окружности радиусом R₁. Однако в данном опыте достаточно приближённого расчёта величины E_s.

После определения угловой скорости ω₀ вычисляются (с учётом (20)) значения начальной механической энергии нормального качения шариков после столкновения:

(22)

Здесь учтено, что механическая энергия равна кинетической энергии шариков, т. к. столкновение происходит в нижней точке спуска.

Если принять условие, что дальнейшее качение шариков происходит без потерь механической энергии (т. е. сопротивлением качению можно пренебречь), тогда, используя закон сохранения механической энергии, получим:

(23)

где h₁^* и h₂^* – теоретические высоты подъёма центров масс шариков в момент остановки (после качения без потерь энергии).

Значения h₁^* и h₂^* легко вычислить, использую формулы (23) и данные о величине ω₀. Однако в опыте будут получаться значения высот h₁ < h₁^* и h₂ < h₂^*, т. к. имеются потери энергии, равные работе A_s момента сопротивления качению. Работы A_s1 и A_s2 моментов сопротивления при качении первого и второго шариков до остановки определяются с учётом результатов опыта по формулам:

(24)

Второй целью эксперимента в задании №2 является опытное подтверждение соотношения начальных скоростей качения шариков после столкновения. Согласно формулам (20) отношение начальных угловых скоростей равно:

(25)

Заметим, что это соотношение верно также и для скоростей центров масс шариков после столкновения.

Легко проверить, применяя формулы (22) и (23), что для отношения высот h₁^* и h₂^* получается:

(26)

В опыте измеряются реальные высоты подъёма центров масс шариков, совершающих качение при наличии сопротивления. Потери энергии при качении шариков до остановки на высотах h₁ и h₂ вносят некоторое отклонение от теоретического значения отношения скоростей ω₀₁ и ω₀₂, определяемого формулой (25). Такие отклонения составляют обычно несколько процентов и могут быть учтены строгим расчётом работы момента сопротивления качению. Однако в данной работе достаточно качественного подтверждения соотношения (26) с использованием значений высот h₁ и h₂, найденных в эксперименте.

4.1.2. Измерения и обработка результатов

4.4.1. Установите первый шарик в нижней части жёлоба так, чтобы его центр находился на расстоянии (5 – 10) мм слева от начала шкалы отсчёта. Эту точку установки не всегда удается фиксировать в опыте постоянной и по этой причине необходимо занести в таблицу 2-1 её положение в виде начальной координаты x₀₁ центра масс первого шарика.

4.4.2. Установите второй шарик в верхней части жёлоба справа. Отметьте положение центра масс шарика на шкале в виде расстояния l₀ (значение l₀ будет повторяться в следующих опытах, так что эту величину можно записать один раз).

4.4.3. Отпустите (без толчка) второй шарик и наблюдайте за его качением и последующим столкновением с первым шариком в нижней точке спуска.

4.4.4. После столкновения первый и второй шарики начинают катиться влево, поднимаясь по жёлобу вверх, и затем останавливаются. Зафиксируйте и занесите в таблицу 2-1 отсчёты по шкале в виде координат x₁ и x₂ центров масс первого и второго шариков в моменты их остановок в верхней точке подъёма.

4.4.5. Повторите опыты 10 раз, занося результаты отсчётов по шкале в таблицу 2-1.

Таблица 2-1

Таблица 2-1 содержит результаты прямых измерений. Обработка этих результатов состоит в определении средних значений < x₀₁>, <x₁> и <x₂>, которые следует занести в последнюю графу таблицы 2-1.

Все остальные данные получаются с помощью формул, т. е. являются результатом косвенных измерений. Погрешности измерений вычисляются по отдельному указанию преподавателя. Основные расчёты выполняются для средних значений по формулам, приведённым в разделе "Пояснение к заданию №2".

Вначале следует найти значения высот h₀, h₁ и h₂, используя для этого данные опыта (т. е. значения l₀, <x₁> и <x₂>) и схему установки, имеющуюся в лаборатории.

Вычислите длину пути центра масс l_c при скатывании второго шарика до столкновения с первым по формуле: l_c = l₀ – <x₀₂>, где < x₀₂> = 2r – <x₀₁> – средняя координата центра масс второго шарика в момент столкновения.

Используя уравнение энергетического баланса (21), найдите величину w₀. Затем вычислите значения начальных кинетических энергий Т₀₁ и Т₀₂ шариков после столкновения и значения высот h₁^* и h₂^* подъёма шариков по жёлобу при отсутствии потерь механической энергии.

По формулам (24) вычислите работу моментов сопротивления качению, определяющую потери энергии при качении шариков до остановки после столкновения.

Последний результат: соотношение скоростей шариков после столкновения – определяется с помощью формулы (26), куда подставляются значения высот h₁ и h₂, найденные в опыте.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ (ПРИМЕРНЫЕ)

5.1. Объяснить цель опытов, схему установки и методику выполнения эксперимента.

5.2. Какое механическое движение называется нормальным качением? Условия нормального качения тел.

5.3. Понятие момента сопротивления качению. Работа момента сопротивления качению.

5.4. Уравнения динамики качения по наклонной поверхности.

5.5. Уравнение энергетического баланса при качении тел.

5.6. На каком расстоянии от начальной точки остановится шарик радиусом

r=1см при качении по горизонтальной поверхности с коэффициентом сопротивления качению d = 2×10^-3 см при начальной скорости центра масс V _0c =

=1 м/с и 10 м/с?

5.7. Понятие работы силы. По какой причине работа сил сцепления при нормальном качении тел равна нулю?

5.8. Объяснить, как вычисляется высота подъёма центра масс шарика, если точка его остановки находится на дуге окружности с радиусом R ₁, величина которого указана на схеме установки.

5.9. По какой причине столкновения шаров при качении отличаются от столкновений свободно летящих шаров?

5.10. Объяснить результаты опытов Задания №1.

5.11. Объяснить результаты опытов Задания №2.

ЛИТЕРАТУРА

6.1. Д. В. Сивухин. Общий курс физики, т. 1, "Механика". М., Наука, 1974, 519с.

6.2. Н. В. Крагельский, В. С. Щедров. Развитие науки о трении. М., Издание АН СССР, 1956, 235с.

6.3. Н. В. Крагельский, И. Э. Виноградова. Коэффициенты трения. М., Машгиз, 1962.

6.4. К. Джонсон. Механика контактного взаимодействия. М., Мир, 1989.

6.5. Г. В. Дедков. Нанотрибология: экспериментальные факты и теоретические модели. Успехи физических наук, т. 170, №6, 2000, с.585-618.

6.6. А,Д.Терентьев. Введение в физику: основы физических измерений, Методическое пособие № 100, КГТУ, 2006г.