Механический способ определения площадей

В инженерной практике для определения площадей достаточно больших участков по планам или картам наиболее часто применяется механический способ, основанный на использовании спе­циального прибора - планиметра. Конструкция планиметра впервые была предложена в 1856 г. одновременно швейцарцем Амслером и нашим соотечественником механиком А. Н. Зарубиным. Из многочисленных конструкций планиметров в настоящее время наибольшее распространение получили полярные планиметры типов ПП-2К (конструкции МИИЗ) и 1111-М (рис. 34, а).

Устройство полярного планиметра. Полярный планиметр ПП-М (см. рис. 34, а) состоит из двух рычагов — полюсного 1 и обводного 4. В нижней части груза 2, закрепленного на одном из концов полюсного рычага, имеется игла — полюс планиметра.

На втором конце полюсного рычага находится штифт с шарообразной головкой, вставляемой в гнездо 5 каретки 6 обводного рычага. На конце обводного рычага имеется линза 3, на которой нанесена окружность с обводной точкой в центре.

Каретка 6 имеет счетный механизм (рис. 34,6), который состоит из счетного колеса 8 и счетчика 7 целых оборотов счетного колеса. Для отчетов по счетному колесу имеется специальное устройство - верньер 9. При обводе контура участка обводной точкой линзы 3 ободок счетного колеса и ролик 11 катятся или скользят по бумаге; вместе с обводной точкой они образуют три опор­ные точки планиметра.

Тысячная часть окружности счетного колеса называется делением планиметра. Окружность счетного колеса разделена на 100 частей, т. е. каждая часть содержит 10 делений планиметра. Каждый десятый штрих счетного колеса оцифрован.

Отсчет по планиметру состоит из четырех цифр: первая — ближайшая к указателю 14 младшая цифра счетчика оборотов (тысячи делений планиметра), вторая и третья цифры—сотни и десятки делений, предшествующие нулевому штриху верньера; четвертая цифра — номер штриха верньера, совпадающего с ближайшим штрихом счетного колеса (единицы делений).

Рис.70. Полярный планиметр III 1-М: а - общий вид; б - каретка со счетным механизмом

Каретка со счетным механизмом (см. рис. 34) после ослабления винта 13 может передвигаться вдоль обводного рычага 4, изменяя тем самым его длину. Необходимая длина обводного рычага устанавливается на шкале делений 12, расположенной на его верхней грани, с помощью верньера 10.

Рис. 71. Теория полярного планиметра

Теория полярного планиметра. Пусть требуется измерить на плане площадь некоторой криволинейной фигуры (рис. 35). Полюс планиметра О установлен внутри фигуры. На рис. 35 схематично показаны: I - начальное положение рычагов планиметра и II - положение при перемещении обводной точки по контуру фигуры на малое расстояние ВВ\. Обозначим через К₁ и К длины обводного и полюсного рычагов, а через г — расстояние от счетного колеса до точки А соединения рычагов.

Перемещение рычагов планиметра из положения ОАВ (I) в положение ОА₁В₁ (II) можно разложить на три движения: 1) поворот полюсного рычага К вокруг полюса О на угол а; 2) парал­лельное перемещение обводного рычага К1 из положения АВ в положение АС на расстояние к; 3) поворот обводного рычага К_г вокруг А_г на угол р.

Площадь фигуры ОАВВАО можно представить суммой площадей трех фигур: площади сектора

К К² 8 0АА₁ =^ЛЛ₁ • —= — а;

^{1 1} 2 2

площади параллелограмма 8ЛВСА₁ = К₁ • к; площади сектора

8а₁СВ₁ = ^СВ₁ •^К = ^ р; ^{11 1} 2 2

(углы а и в выражены в радианной мере).

Тогда площадь фигуры ОАВВ2А:О

К 2 К²

8₁ = — а + — в + К, • к. (26)

¹ 2 2 ¹ При перемещении обводной точки из В в С счетное колесо переместится из положения «а» в положение «с» и пройдет путь, равный к. При повороте обводного рычага вокруг точки А_г из по­ложения АС в положение А₁В₁ на угол в счетное колесо будет вращаться в обратном направлении на величину дуги аЬ=гф. Следовательно, общий путь счетного колеса будет равен Ь - г в.

Пусть п_о и п — отсчеты по планиметру при положениях рычагов ОАВ (I) и ОА₁В₁ (II), а I - цена деления счетного колеса в линейной мере. Тогда путь счетного колеса можно выразить как Х(п1—п₀). Отсюда

к - г • в = ( (Пц - п) или к = I (п₁ - п_о) + г -р.

Подставив значение к в формулу (26), получим

К ² К ²

81 = — а + -2 р + К гв + К/(п - п_о). (27)

Площадь всей фигуры будет равна сумме элементарных площадей 8_Ь 8₂,..., 8_п:

К ² К ² К ² К ²

81 = — а + -2- р + К1 гв + К1Ф1 - по) + — а1 +-2- р 1 + К г в 1 + ККп ₂ - Щ) +

или в общем виде

К² К²

81 = —Еа + Ев + К1 + К1Ф1 - по), (28)

где по, п — начальный и конечный отсчеты по планиметру.

Если полюс планиметра находится внутри контура, то после полного обвода полюсный рычаг АО опишет окружность около неподвижного полюса О, а обводной рычаг АВ — около подвижной точки А1; тогда

Е а = Ев = 2п

и формула (28) примет вид

8 = п(К ² + К₁² + 2К₁ г) + К₁((п - п₀). ' (29)

Обозначив через Ц = п(К^2! + К2 + 2К₁ Г) / = К₁{, ую формулу

для вычисления всей фигуры при положении полюса внутри контура фигуры:

8 = /(п - п ₀) + д, (30)

где /—цена деления планиметра; ^—постоянная планиметра.

Если полюс планиметра находится вне контура фигуры (этому условно соответствует положение полюса О относительно контура заштрихованной площади), то после обведения контура ВСВг полюсный и обводной рычаги займут исходное положение и, следовательно, Еа=Ев=0. Тогда формула (30) примет вид

8 = /(п - п₀). (31)

Измерение площади планиметром. При использовании планиметра ПП-М измерение площадей до 400 см² производится обычно при положении полюса вне контура.

Перед измерением площади участка план или карта закрепляются на гладкой горизонтальной плоскости. Планиметр устанавливается так, чтобы его полюс располагался вне измеряемого участка, а полюсный и обводной рычаги образовывали примерно прямой угол.

Место закрепления полюса выбирают с расчетом, чтобы во время обвода всей фигуры угол между обводным и полюсным рычагами был не менее 30° и не более 150°. Совместив обводную точку планиметра с исходной точкой О контура, снимают по счетному механизму начальный отсчет По и плавно обводят весь контур по ходу часовой стрелки. Вернувшись в исходную точку, берут конечный отсчет п. Разность отсчетов (п—п_о) выражает величину площади фигуры в делениях планиметра. Тогда площадь измеряемого участка

8 = /(п - п₀),

где (/ — цена деления планиметра, т. е. площадь, соответствующая одному делению планиметра.

Площади малых участков рекомендуется измерять методом повторений, делая обвод контура 2—3 раза и беря начальный и конечный отсчеты; разность этих отсчетов следует разделить на число обводов. Измерение малых площадей можно осуществить также при уменьшенной длине обводного рычага.

Для контроля и повышения точности результатов измерений площадь участка следует измерять при двух положениях полюса планиметра относительно счетного механизма: «полюс лево» (ПЛ) и «полюс право» (ПП). Если смотреть со стороны обводного устройства вдоль обводного рычага, то при положении ПЛ полюс планиметра расположен слева, а при положении ПП — справа относительно каретки.

Большие площади на планах и картах следует измерять по частям.

Для этого измеряемую фигуру делят на части плавными, слегка изогнутыми линиями. Площади слишком узких, вытянутых фигур (дорог, оврагов, речек и т. п.) измерять планиметром не рекомендуется.

Определение цены деления планиметра. Перед измерением площадей необходимо определить цену деления планиметра. Цена деления бывает абсолютной (Ц _абс),' если она выражена в мм² /дел., и относительной (Ц _отн), если выражена в м² /дел. или га/дел., с учетом

масштаба данного плана (карты).

Для определения цены деления планиметра выбирают фигуру, площадь которой §_о известна заранее (например, один или несколько квадратов координатной сетки). С целью получения более высокой точности выбранную фигуру обводят по.. контуру четыре раза: два раза при положении «полюс право» (ПП) и два — при положении «полюс лево» (ПЛ). При каждом обводе берут на­чальный и конечный отсчеты и вычисляют их разность (п - п₀₁). Расхождения между значениями разностей, полученными при ПП и ПЛ, не должны превышать при площади фигуры до 200 деле- ний—2, от 200 до 2000 делений—3 и свыше 2000—4 деления планиметра. Если расхождения не превышают допустимых, то рассчитывают среднюю разность отсчетов (п - п_о)_ср и вычисляют цену деления планиметра по формуле

8 0

/ = --------- (32)

^{(п - п}0⁾_Ср

Полученная цена деления планиметра может выражаться дробным числом (например. / =9,75 мм/дел.), что создает определенные неудобства при вычислении ряда площадей. В таких

случаях цена деления приводится к удобной для вычислений целой величине (например, //₀= 10

мм²/дел) путем изменения длины обводного рычага. Для этого определяют длину обводного рычага, соответствующую полученному значению цены деления: например, при (/=9,75 мм²/дел. К= 155,3

мм. Тогда длина рычага для желательной цены деления планиметра //₀=Ю мм²/дел. может быть

найдена из пропорции:

К= 155,3 мм — / =9,75 мм'/дел.,

Рис.72.Схема определения площади по А.Н.Савичу Ко =? — /Л 0 = 10 мм2/дел.

Отсюда

К₀ = К ^Л = 155,3— = 159,3 мм. ⁰ / 9,75

Ослабив винт 12 (см. рис. 34,б), устанавливают каретку со счетным механизмом на вычисленный отсчет, изменяя тем самым длину обводного рычага. После этого вновь определяют цену деления планиметра по изложенной выше методике.

Цена деления планиметра может быть определена с помощью контрольной линейки, входящей в комплект планиметра.

Планиметр должен удовлетворять следующим основным условиям:

1. Счетное колесо должно вращаться на оси свободно и без колебаний. Для проверки этого условия колесо приводится в движение пальцем; при этом оно должно вращаться по инерции не менее 3 с. Зазор между краем колеса и верньером не должен превышать толщины папиросной бумаги и меняться по величине при вращении колеса. Исправление достигается с помощью регулировочного винта подпятников оси.

2. Плоскость ободка счетного колеса должна быть перпендикулярна к оси обводного рычага. Для проверки условия обводят планиметром одну и ту же фигуру при двух положениях полюса (ПП и ПЛ). Условие считается выполненным, если полученные значения площади в делениях планиметра различаются между собой не более чем на 1:200 величины их среднего значения. В противном случае площадь следует всегда определять при двух положениях полюса и за окончательный результат брать среднее арифметическое, величина которого будет свободна от погрешностей из-за неправильного положения ободка счетного колеса, т. е. эта погрешность компенсируется. За это свойство планиметр называют компенсационным.

Точность определения площадей полярным планиметром зависит главным образом от размеров обводимых фигур; чем меньше площадь, тем больше относительная погрешность ее определения. Поэтому не рекомендуется измерять с помощью планиметра площади участков на плане (карте) меньше 10—12 см², так как в этом случае они точнее могут быть измерены графическим способом. При благоприятных условиях измерений относительная погрешность определения площадей с помощью полярного планиметра близка к 1:400.

Определение площади по способу акад. А. Н. Савича. Данный способ можно применять при измерении полярным планиметром площади 8, которая является (рис. 36) частью известной площади 8 (например, квадрата координатной сетки плана).

При положении полюса планиметра вне фигуры обводят контуры квадрата сетки и определяемой фигуры и берут начальные и конечные отсчеты: для квадрата—Ы₀ и N для искомой фигуры— по и п. Тогда площади квадрата и малой фигуры можно выразить как

8 = /(N - N0);

5 = /^{(п - п}0⁾.

Разделив второе выражение на первое, получим:

5 = п - п ₀ 8 " N - N ₀.

Отсюда искомая площадь

о п - п₀

5 = 8--------- 2. (33)

N - N 0

Как следует из формулы (33), в рассмотренном способе учитывается деформация бумаги, на которой составлен план (карта), что повышает точность определения площадей.