Средняя квадратическая ошибка функции общего вида

В большинстве случаев геодезические измерения выполняют с целью определения значения других величин, связанных с измеряемой функциональной зависимостью.

Например:

D = К · n;

h = З – П;

h = S · tgν.

Для суждения о получаемой при этом точности необходимо определить среднюю квадратическую ошибку функции по средним квадратическим ошибкам исходных величин, которые в свою очередь, могут являться результатами измерений или функциями результатов измерений.

Пусть u = f( X,Y,Z ) есть некоторая функция независимых величин X, Y, Z, измеренных или вычисленных со средними квадратическими ошибками m_x, m_y, m_z.

Продифференцируем функцию по всем переменным и получим

.

В этой формуле бесконечно малые приращения – дифференциалы – заменим истинными ошибками. Получим выражение

,

где ΔX, ΔY, ΔZ – истинные ошибки.

Перейдем от истинных ошибок к средним квадратическим ошибкам. Для этого положим, что X, Y, Z измерено n раз, где можно считать . Соответственно числу измерений составляем n равенств

Возведем каждое из равенств в квадрат, сложим и разделим на n

А так как ; и т.д.,

то

где представляют собой частные производные данной функции, вычисленные для соответствующих значений аргументов.