РІВНІСТЬ СЛУЦЬКОГО

Хай споживач, що має дохід I, при цінах Р вибрав набір D(P, I) і отримав корисність U=V(P, I). Ясно, що він не міг би досягти тієї ж корисності меншими витратами, так що набір D(P, I) є в той же час рішенням задачі заміщення при даних цінах і рівні задоволення. Тому має місце тотожність

<D(P, I)= Q(P, V(Р, I)). (12)

Диференціюючи почленно тотожність (12) за ціною j-того блага, отримаємо або, з урахуванням рівності (10)

(13)

З іншого боку, диференціюючи (12) по I, отримаємо

Зіставляючи цей результат з рівністю (13), отримаємо затвердження теореми Слуцького:

Перший доданок в правій частині інтерпретується як ефект заміни, другий (разом із знаком "мінус") - як ефект доходу.

Відмітимо, що вектор Х споживчого вибору можна розглядати і як значення функції попиту, і як значення функції заміщення:

Х = D(P, I)= Q(P, Q),

де I = РХ, U = u(X).

Тому в тих випадках, коли ми оперуватимемо величинами об'ємів попиту на різні блага, а не їх залежностями від тих або інших змінних, нам буде байдуже, чи вважати їх значеннями функції D або Q; ми їх позначатимемо х..

Зокрема, при i = j рівність описує зміна попиту на деяке благо при зміні його власної ціни: внаслідок убиваючої норми заміни власний ефект заміни завжди негативний; ефект доходу може бути як негативним (для нормальних благ), так і позитивним (для нижчих благ).

Рівність Слуцького може бути записана також як співвідношення між еластичностями попиту. Помножимо обидві частини рівності на pj / xi:

Вираз в лівій частині є еластичністю попиту на i-те благо за ціною j-того (пряму - при i = j, перехресну, - при (iOj):

Перший доданок в правій частині є еластичністю компенсованого попиту (при фіксованій корисності) на i-тое благо за ціною j-того:

Вираз є еластичністю попиту по доходу, а відношення wj=рjхj / I - часткою j-того блага у витратах.