Задача 3. Постановка задачи. Cоставить алгоритм нахождения с требуемой точностью e экстремума функции f(X) двух переменной градиентным методом с адаптацией шага

Постановка задачи. Cоставить алгоритм нахождения с требуемой точностью e экстремума функции f (X) двух переменной градиентным методом с адаптацией шага.

Рис. 2.3. Содержание ячеек при реализации симплекс-метода

Продолжение рис. 2.3

Рис. 2.4. Результаты реализации симплекс-метода

Алгоритм метода.

1. Начальный этап. Задают начальную точку X ⁽⁰⁾, начальный шаг l⁽⁰⁾, k = 0.

2. Расчет параметров метода на k -ой итерации. Рассчитываются значения функции, первых производных. Определяются единичные направления по выражению

, .

Определяется текущее направление движения Napr по таблице

Если k = 0, то переход к этапу 4, иначе к этапу 3.

3. Проверка условия окончания метода и адаптация шага.

Если | f (X ^(k)) - f (X ^{(k -1)})| £ e, то переход к этапу 5.

Определение угла между направлениями на k -ом и (k -1)-ом шагах q = | Napr ^(k) - Napr ^{(k -1)}|.

Расчет коэффициента шага a, например по следующей таблице

Определение шага l^(k) = a × l^{(k -1)}

4. Определение координат новой точки. Производится по формуле

X ^{(k +1)} = X ^(k) + l^(k)× S ^(k)

Установить k = k + 1 и перейти к этапу 2.

5. Вывод результатов. За оптимальное решение принять X ^(k) точку.

Реализация метода. На рис. 2.5 приведено содержание ячеек рабочего листа, используемых для осуществления первых двух итераций при нахождении данным методом минимума функции
f (X) = (x ₁ - 2)⁴ + (x ₁ - 2 x ₂)² при начальной длине шага, равной 0,5, и точности поиска 0,001.

Рис. 2.5. Содержание ячеек при реализации градиентного метода

Результаты решения задачи для условий, описанных выше, приведены на рис. 2.6.