Задача 2. Постановка задачи. Cоставить алгоритм нахождения с требуемой точностью e экстремума функции f(X) двух переменной симплекс-методом с изменяемой длиной ребра

Постановка задачи. Cоставить алгоритм нахождения с требуемой точностью e экстремума функции f (X) двух переменной симплекс-методом с изменяемой длиной ребра. Начальное расположение симплекса – одна из вершин в начале координат.

Алгоритм метода.

1. Начальный этап. Расчет координат симплекса в соответствии с таблицей

где , .

Задать k = 0.

2. Определение вершин с максимальным и минимальным значением функции. Определяют те вектора X многогранника, которые дают максимальное и минимальное значение f (X), а именно

f (X_h ^(k)) = max{ f (X ₁^(k)),..., f (X_{n +1}^(k))};

f (X_l ^(k)) = min{ f (X ₁^(k)),..., f (X_{n +1}^(k))}.

3. Расчет координат центра тяжести. Координаты центра тяжести рассчитываются по формуле

, j =1, …, n,

где индекс j обозначает координатное направление.

Если на k -1 этапе произошла редукция, то перейти к шагу 5, иначе к шагу 4.

4. Определение зацикливания. Зацикливание происходит в случае, если номера вершин с максимальным значением f (X) совпадают на k -ом и (k -1)-ом шагах, т.е.

h ^(k) = h ^{(k -1)}.

Если зацикливание не обнаружено, то переход к этапу 5, в противном случае происходит проверка условия окончания поиска

В случае выполнения условия переход к этапу 7, иначе к этапу 6.

5. Отражение. Представляет проектирование X_h ^(k) через центр тяжести в соответствии с соотношением

.

Установить k = k + 1 и перейти к этапу 2.

6. Редукция. Расчет координат вершин симплекса осуществляется в соответствии с формулой

X_i ^{(k +1)} = X_l ^(k) + 0,5(X_i ^(k) - X_l ^(k)), i = 1, …, n + 1.

Установить k = k + 1 и перейти к шагу 2.

7. Выдача полученных результатов. В качестве решения задачи взять вершину с минимальным значением f (X).

Реализация метода. На рис. 2.3 приведено содержание ячеек рабочего листа, используемых для осуществления первых двух итераций при нахождении данным методом минимума функции
f (X) = (x ₁ - 2)² + (x ₂ - 3)² при начальной длине ребра, равной 1, и точности поиска 0,01

Результаты решения задачи для условий, описанных выше, приведены на рис. 2.4.