Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Транспортные задачи энергетики. Транспортная матрица. Распределительный метод. Метод потенциалов. Учет пропускной способности линий. Транспортная задача с транзитом мощности

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

 

 

Цель занятия:

- изучить понятие транспортной задачи;

- изучить способы решения транспортных задач.

 

 

Практическое задание:

Пример 3.1. В системе электроснабжения имеется два узла с источниками питания и три узла потребителей. Составить математическую модель для решения транспортной задачи и найти допустимое решение транспортной задачи. Взаимное расположение узлов показано на рис. 3.1.

 

 
 

 


Рис. 3.1. Расположение узлов питания и потребления

 

Исходные данные:

· А1 =50, А2 =30 – мощности источников питания;

· В1 =20, В2 =25, В3 =35 – мощности потребителей, ед.м.;

· сkp – удельные затраты на передачу мощностей по линиям между узлами источников и потребителей, у.е./ед.м.

 

Математическая модель:

Особенности транспортной задачи следующие:

- все ограничения имеют форму равенств;

- все коэффициенты при переменных в системе ограничений равны плюс единице;

- каждая переменная дважды входит в систему ограничений;

- один раз в балансы узлов источников, второй раз в балансы узлов

потребителей.

 

Необходимо найти такое распределение мощностей от источников к приемникам, при котором затраты на передачу мощностей будут минимальными.

Целевая функция:

=1,2, =1,8, =1,5, =1,6, =2,3, =2,1.

Ограничения, представляющие собой балансы мощности в узлах электрической сети, будут иметь вид:

Граничные условия:

Получение допустимого решения:

Запишем решение в табличной форме – транспортной матрицей.

Таблица 3.1

=20 с11 =1,2 =0 =1,8 =30 =1,5 =50 (50-20=30)
=0 =1,6 =25 =2,3 =5 =2,1 =30
=20 =25 =35 (35-30=5) =137

 

Выберем клетку с минимальным значением сkp (с11 =1,2). Занесем в качестве базисной переменной х11 меньшее из А1 и В1 (В1 =20). Баланс для 1-го столбца соблюден, в остальные клетки столбца заносим 0.

Выберем клетку с минимальным значением сkp (с13 =1,5). Занесем в качестве базисной переменной х13 меньшее из А1 и В3 (А1 =30). Для баланса 3-го столбца занесем во вторую клетку 5.

Для баланса 1-ой строки занесем во вторую клетку 0. Для баланса 2-ой строки во вторую клетку занесем

Итак, вся транспортная матрица заполнена. Балансы мощности по строкам (по узлам источников) и по столбцам (по узлам потребителей) выполняются. Все переменные неотрицательны. Полученное исходное решение является допустимым. В этом решении

свободные переменные: х12 =0, х21 =0;

базисные переменные: х11 =20, х13 =30, х22 =25, х23 =5 е.м.;

значение целевой функции

 

Пример 3.2. Решить предыдущую задачу распределительным методом.

 

В полученном допустимом решении имеются две свободные переменные х12 и х21. Произвольно выберем переменную х21 и увеличим значение этой переменной от нуля до единицы х21 =1.

Таблица 3.3

=19 с11 =1,2 =0 =1,8 =31 =1,5 =50 (50-19=31)
=1 =1,6 =25 =2,3 =4 =2,1 =30
=20 =25 =35 =136,8

 

Видно, что при увеличении свободной переменной х21 значение целевой функции уменьшается. Эту свободную переменную следует перевести в базис.

Таблица 3.4

=15 с11 =1,2 =0 =1,8 =35 =1,5 =50
=5 =1,6 =25 =2,3 =0 =2,1 =30
=20 =25 =35 =136

 

Видно, что значение целевой функции улучшилось по сравнению с предыдущим решением (136<137).

 

Пример 3.3. Решить предыдущую задачу методом потенциалов.

В соответствии с методом потенциалов каждой строке и каждому столбцу транспортной матрицы присваивается свой потенциал: строкам - потенциалы Vi (i =1, 2,... n), столбцам - потенциалы Uj (j =1, 2,... m), как показано в табл. 3.5 для рассматриваемого примера.

Таблица 3.5

  U1 =1 U2 =1,7 U3 =1,3  
V1 =0,2 =15 с11 =1,2 =0 =1,8 =35 =1,5 =50
V1 =0,6 =5 =1,6 =25 =2,3 =0 =2,1 =30
  =20 =25 =35 =136

 

Эти потенциалы таковы, что для каждой базисной переменной сумма потенциалов равна удельной стоимости.

U1 =1;

V1= с11 - U1 = 1,2 - 1 = 0,2;

V2= с21 - U1 = 1,6 - 1 = 0,6;

U2= с22 - V2 = 2,3 - 0,6 =1,7;

U3= z13 - V1 = 1,5 - 0,2 = 1,3.

 

В общем случае, при условии

Vi +Uj > zij

перевод свободной переменной xij в базис уменьшает целевую функцию Z, а при условии

Vi +Uj < zij

перевод свободной переменной хij в базис увеличивает целевую функцию Z.


Для свободной переменной х23

V2+U3 = 0,6+1,3=1,9 < z23 =2,1.

Для свободной переменной х12

V1+U2 = 0,2+1,7=1,9 > z12 =1,8.

Следовательно, свободную переменную х12 следует перевести в базис, поскольку этот перевод приведет к уменьшению целевой функции Z.

Новому допустимому решению соответствует транспортная матрица табл. 3.6.

Таблица 3.6

  U1 =1 U2 =1,7 U3 =1,4  
V1 =0,1 =0 с11 =1,2 =15 =1,8 =35 =1,5 =50
V1 =0,6 =20 =1,6 =10 =2,3 =0 =2,1 =30
  =20 =25 =35 =134,5

 

Полученное решение является оптимальным.

 

Пример 3.4. Решить задачу рассмотренного выше примера для случая, когда мощность, передаваемая по линии х13, ограничена величиной 20 е.м. (х13 < 20)

В исходной транспортной матрице (табл. 3.2) третий столбец разбиваем на два столбца с условными потребителями В 3'=35-20=15 и В 3"=20 е.м. Удельную стоимость передачи мощности от источника А 1 к условному потребителю В 3' примем равной 100 у.е./е.м. Остальные удельные стоимости такие же.

Таблица 3.7

  U1 =1 U2 =1,6 U’3 =1,4 U”3 =1,3  
V1 =0,2 =20 с11 =1,2 =10 =1,8 =0 =100 =20 =1,5 =50
V1 =0,7 =0 =1,6 =15 =2,3 =15 =2,1 =0 =2,1 =30
  =20 =25 =15 =20 =138

 

Далее используем метод потенциалов.

 

Пример 3.5. В проектируемой системе электроснабжения имеется 2 узла источников питания и 2 узла потребителей. Мощности источников составляют A 1=100 и A 2=50, а мощности потребителей - B 3=90 и B 4=60 е.м. Удельные затраты на передачу мощностей по линиям между узлами составляют z 12=10, z 13=5, z 14=2, z 23=4, z 24=3 и z 34=2 у.е./е.м.

Требуется найти оптимальную схему электрической сети

Составим транспортную матрицу.

Таблица 3.8

  U1 =1 U2 =2 U3 =6 U4 =3  
V1 =0,2         A1 =100
V2 =-2         A2 =50
V3 =-6         B3 =0
V4 =-3         B4 =0
  A1 =0 A2 =0 B3 =90 B4 =60 Z=520

 

Справа от матрицы, где помещены мощности источников питания, указаны нулевые мощности узлов 3 и 4 (В 3=0, В 4=0), поскольку эти узлы не являются источниками. Снизу под матрицей, где помещены мощности потребителей, указаны нулевые мощности узлов 1 и 2 (А 1=0, А 2=0), поскольку эти узлы не являются потребителями.

Исходное допустимое решение найдено методом наименьшей удельной стоимости.

Зададимся произвольно значением одного из потенциалов (U 1=1). Вычисленные значения остальных потенциалов показаны в табл. 3.8. Поскольку для базисных транзитных переменных удельные стоимости zii =0, потенциалы с одинаковыми индексами равны по величине и противоположны по знаку Vi = - Ui.

Далее используем метод потенциалов.

Таблица 3.8

  U1 =1 U2 =1 U3 =5 U4 =3  
V1 =-1         A1 =100
V2 =-1         A2 =50
V3 =-5         B3 =0
V4 =-3       -40 B4 =0
  A1 =0 A2 =0 B3 =90 B4 =60 Z=480

 



Практическое занятие 4

 

Нелинейные оптимизационные задачи. Градиентный метод. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Задача оптимального распределения активной мощности в энергосистеме. Задача оптимального распределения компенсирующих устройств.

 

Цель занятия:

- изучить понятие нелинейной оптимизационной задачи;

- изучить способы решения нелинейных оптимизационных задач.

 

Практическое задание:

 

Пример 4.1. В существующей схеме электроснабжения (рис. 4.1) требуется определить мощности компенсирующих устройств Qк1 и Qк2 в узлах 1 и 2 исходя из условия минимума суммарных затрат на установку этих устройств и покрытие потерь активной мощности в схеме.

Исходные данные:

напряжение схемы U = 10 кВ;

сопротивления линий R1 =6 Ом, R2 =4 Ом;

реактивные нагрузки узлов 1 и 2 Q1 =600 квар и Q2 =800 квар;

удельные затраты на установку компенсирующих устройств z0 =0,5 у.е./квар;

удельные затраты на покрытие потерь активной мощности с0 =10 у.е./кВт.

Рис. 4.1. Схема электроснабжения

 

Целевая функция, представляющая собой суммарные затраты на установку компенсирующих устройств и покрытие потерь активной мощности в схеме, имеет следующий вид

 

где

Для решения задачи выберем метод покоординатного "спуска". Определим частные производные целевой функции Z по переменным Qk1 и Qk2:

 

Примем исходное приближение: Qk1 0=0 Qk2 0=0.

у.е.;

;

.

 

Очевидно, что в направлении переменной Qk2 целевая функция Z убывает сильнее, чем в направлении переменной Qk1.

Начнем спуск в направлении переменной Qk2.

Примем величину шага λ=400 квар. Первое приближение (первый шаг) будет Qk11 =0, Qk21 =400 квар. Значение целевой функции Z1 =864 у.е.

Второй шаг: Qk1 2=0, Qk22 =800 квар. Значение целевой функции Z2 = 616 у.е.

Третий шаг: Qk13 =0, Qk23 =1200 квар. Значение целевой функции Z3 = 689 у.е.

Очевидно, что "спуск" по координате Qk2 целесообразно прекратить, поскольку Z3>Z2, и вернуться к значениям переменных Qk12 =0, Qk22 =800 квар, полученным на втором шаге.

Выполним новый третий шаг λ=400 квар в направлении другой переменной Qk1: Qk13 =400 квар, Qk23 =800 квар. Значение целевой функции Z3 = 624 у.е. Движение в направлении переменной Qk1 нецелесообразно, поскольку Z3>Z2.

Точка с координатами Qk1 =0, Qk2 =800 квар находится в окрестности минимума целевой функции Z. При принятой длине шага λ=400 квар более точное решение получено быть не может.

 

Пример 4.2. В существующей схеме электроснабжения (рис. 4.2) следует распределить между узлами 1, 2 и 3 суммарную мощность компенсирующих устройств, равную 1000 квар. Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности.


Исходные данные:

напряжение схемы U =10 кВ;

сопротивления линий R1 =0,4, R2 =0,5, R3 =0,6 Ом;

реактивные нагрузки узлов Q1 =600, Q2 =500, Q3 =400 квар.

 

Рис. 4.2. Схема электроснабжения

 

В соответствии с исходными данными подлежащие минимизации потери активной мощности (целевая функция) определяются соотношением.

 

∆Р= a1 (Q1+Q2+Q3-Qk1-Qk2-Qk3) 2+ a2(Q2 - Qk2) 2+a3(Q3-Qk3)2 =

= 0,004(1500 -Qk1-Qk2-Qk3) 2+ 0,005(500 -Qk2) 2+ 0,006(400 -Qk3) 2 → min,

 

где a1= R1 /U2 =0,004;

a2= R2 /U2 =0,005.

a3= R3 /U2 =0,006.

Суммарная мощность источников реактивной мощности ограничивается условием

 

Qk1 + Qk2 + Qk3 - 1000=0.

 

В соответствии с выражением (4.16) функция Лагранжа будет иметь вид

L = 0,004(1500 - Qk1 - Qk2 - Qk3)2 + 0,005(500 - Qk2)2 +

+0,006(400 - Qk3)2+λ(Qk1 + Qk2 - Qk3 - 1000)2 → min.

 

Для определения минимума функции Лагранжа вычислим ее частные производные по всем переменным и приравняем эти производные к нулю:

 

∂L/∂Qk1 = - 0,008(1500 - Qk1 - Qk2 - Qk3)+ λ =0,

∂L/∂Qk2 = - 0,008(1500 - Qk1 - Qk2 - Qk3)- 0,01(500 - Qk2) + λ=0,

∂L/∂Qk3 = - 0,008(1500 - Qk1 - Qk2 - Qk3) - 0,012(400 - Qk3)+ λ=0,

∂L/∂λ = Qk1+ Qk2+ Qk3 - 1000 = 0.

 

Откуда Qk1 = 100 квар; Qk2 = 500 квар; Qk3 = 400 квар;

λ = 0,008(1500 - 100 - 500 - 400)= 4.

 

∆Р= 2 кВт.

 

 

Практическое занятие 5

 


⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒





Date: 2015-09-18; view: 2345; Нарушение авторских прав


mydocx.ru - 2015-2025 year. (0.059 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию