Ур-ния с разделяющимися переменными

Определение 5. Урав-нение вида

У' = f1 (x) *f2(y) (6)

где f1(х) и f2 (у) — не прерывные функции,

называется диф уравнением с разделяющимися переменными.

Для отыскания решения уравнения (6) нужно

разделить в нем переменные. Для этого заменим в (6) у' на

dy/dx, разделим обе части уравнения на f2 (у] (предполагаем

f2 (у) <>0) и умножим на f(x) Тогда уравнение (6) принимает вид

dy/f2(y)=f1(x)dx (7)

В этом уравнении переменная х входит только в правую часть, а переменная у — только в левую (т. е. переменные разделены). Предполагая, что функция у = ф (х) является решением уравнения, и подставляя ее в тождество(7), получаем тождество.

Интегрируя тождество, получаем

Sdy/f2(y)=Sf1(x)*dx+c (8)

где С =С.2 — С1 — произвольная постоянная.

Соотношение (8) определяет неявным образом общее решение

уравнения (6).

47. Линейные ур-ния.Метод вариации.

Определение 6. Уравнение вида

У' + Р (х) *У = f(х),

где P (х) и f (х) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее производная у' входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.

Если f(х) == 0(тождественно), то уравнение (10) называется линейным однородным уравнением

Для нахождения общего решения уравнения (10) может применен метод вариации постоянной.

В этом методе сначала находят общее решение линейного однородного уравнения

у' + р(х)у = О, (11)

соответствующего данному неоднородному уравнению (10). Ур-нение (11) является уравнением с разделяющимися переменными; Разделяя переменные и интегрируя, имеем

dy/y= -р(х) dх,

lnlyl = - S р (х)dx+ln IC1 I

lyl/lc1l=-Sp(x)dx

Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения (11):

у = ±С1*e ^-Sр(х)dх, или у = С*e^ -Sр(х)dх, где у = ±С1*e^ -Sр(х)dх, или у = С*e ^-Sр(х)dх, где

С = ±C1 — произвольная постоянная.

Теперь найдем общее решение Ур(10) в виде (12), где С будем принимать не постоянной, а новой неизв функцией от х, т.е. в виде

y=C(x)*e^-Sp(x)dx

Чтобы найти функцию С (х) и, тем самым, решение в виде (13), ставим функцию (13) в уравнение (10). Получим

C'(x)*e^-Sp(x)dx-C(x)*p(x)*e^(-Sp(x)dx)+p(x)*C(x)*e^-Sр(х)dх=f(x)

или c'(x)=f(x)*e^Sр(х)dх(14)

Итак чтобы функция (13) являлась решением уравнения(10), функця С (х) должна удовлетворять уравнению (14). Интегрируя находим

C(x)=Sf(x)*e^(Sр(х)dх)dx+c1

С1 — произвольная постоянная. Подставляя найденное выра-ие для С (х} в соотношение (13), получаем общее решение линейного уравнения (10):

. y(x)=c1*e^-Sр(х)dх+e^-sр(х)dх*Sf(x)*e^S(р(х)dх)dx(15)