Сжимаемость жидкости

Сжимаемость – это свойство жидкости изменять плотность (объём) при изменении давления и температуры. Для количественной оценки сжимаемости используются изотермический коэффициент сжимаемости β_p и коэффициент температурного расширения β_Τ. Причем, первый отражает относительное изменение плотности жидкости при изменении только давления (при T= Const), а второй – то же явление, но при изменении только температуры жидкости (при p= Const).

Для решения вопроса о необходимости учета сжимаемости при исследовании того или иного течения жидкости, т.е. для выбора модели – сжимаемой или несжимаемой жидкости, необходимо знать изменения давления и температуры в рассматриваемой области течения и оценить вызванное ими относительное изменение плотности. Обычно для многих задач прикладной газовой динамики, если они не связаны с исследованием пограничного слоя, учет температурного расширения жидкости не является актуальным; наибольший интерес представляет сжимаемость жидкости, обусловленная изменением давления.

Относительное изменение плотности ∆ρ/ρ при заданном изменении давления ∆p пропорционально изотермическому коэффициенту сжимаемости β_p и обратно пропорционально модулю упругости õ,поскольку β_p и õпо определению являются величинами обратными друг другу:

∆ρ/ρ = β_p ∆p = ∆p / õ– закон Гука для жидкости.

Сжимаемость свойственна всем жидкостям (и капельным и газам), однако её количественное проявление будет различным в зависимости от физических свойств среды. Капельные жидкости малосжимаемы или практически несжимаемы, поскольку их модули упругости достаточно велики (например, для воды õ = 2∙ 10⁹ Па).

По сравнению с капельными жидкостями сжимаемость газов очень велика: при атмосферном давлении и изотермическом процессе сжимаемость воздуха в 20 тысяч раз больше сжимаемости воды.

При изотермическом процессе течения газа:

T= Const; p/ρ=RT=Const; dp/dρ=p/ρ

õ = dp / dρ/ρ= p/ρ/ρ= p,

т.е. сжимаемость газов тем больше, чем меньше давление. При атмосферном давлении модуль упругости воздуха õ = p=B= 10⁵ Па, что в 2·10⁴ раза меньше величины модуля упругости воды (см. выше).

При изоэнтропийном процессе течения газа:

p/ρ^k= Const; dp/dρ=kp/ρ

õ = dp / dρ/ρ= kp,

т.е. сжимаемость газов определяется не только давлением, но и показателем изоэнтропы k, уменьшаясь с его увеличением.

Течение жидкости допустимо рассматривать как несжимаемое до тех пор, пока относительное изменение плотности ∆ρ/ρ остается весьма малым, т.е. ∆ρ/ρ<<1.

При энергоизолированном движении жидкости изменение давления ∆p, связанное с процессом течения, имеет величину такого же порядка, как и динамическое давление ρW²/2; поэтому ∆ρ/ρ≈ ρW²/2 õ. Таким образом, течение жидкости можно рассматривать как несжимаемое до тех пор, пока динамическое давление остается весьма малым по сравнению с модулем упругости.

Если ввести в рассмотрение скорость звука a, которая согласно формуле Лапласа определяется равенством a²= õ /ρ, то условие ∆ρ/ρ<<1 можно переписать в виде ∆ρ/ρ≈ ρW²/2 õ ≈ (W/a)²/2<<1. Отношение скорости течения W к скорости звука a называют числом Маха: М=W/a. Таким образом, течение можно рассматривать приближенно как несжимаемое если М²/2 <<1, т.е. при условии, что число Маха мало по сравнению с единицей (обычно принято считать – при М≤ 0.3 … 0.4), или другими словами, при условии, что скорость течения мала по сравнению со скоростью звука.

При М=0.3, например, относительное изменение плотности составит

∆ρ/ρ≈ М ²/2=0.3²/2≈0.05,

т.е. порядка 5%.