Теорема 2. (Критерий Коши существования предела функции в точке)

Для того чтобы функция f имела конечный предел в точке [при ], необходимо и достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла в точке [при ] условию Коши.

Доказательство этой теоремы полностью идентично доказательству критерия Коши для функции одной переменной.

§5. Непрерывность функции m переменных.

Приведем два эквивалентных определения непрерывности функции в точке.

Определение 1.(непрерывности функции в точке по Гейне)

Функция f называется непрерывной в точке , если для любой сходящейся к точке последовательности точек множества X числовая последовательность значений этой функции сходится к числу .

Определение 1*.(непрерывности функции в точке по Коши)

Функция f называется непрерывной в точке , если

Сопоставляя эти определения с определениями предела функции в точке, нетрудно прийти к выводу:

Функция f непрерывна в точке , являющейся предельной точкой множества X, тогда и только тогда, когда .

Определение 2.

Функция f называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Основные свойства непрерывных функций:

1. Если функции f и g непрерывны в точке , то функции и также непрерывны в точке (в случае частного нужно дополнительно потребовать, чтобы g не обращалась в 0). Это утверждение вытекает из теоремы 1 предыдущего параграфа.

Date: 2015-09-03; view: 558; Нарушение авторских прав